以一份期中考试题为例谈模型思想在几何学习中的应用

亲爱的同学们，仔细看了你们这次期中考试的试题。针对大家的答题情况，想和你们分享一点自己的想法，希望对你们以后的学习有所启发。如果你们觉得哪些想法和你们不一样，也可写下来咱们共同探讨。

01 8字型的应用

先看下面这道题：

这一题考查的是等腰三角形的等边对等角和三角形内角和的内容，我看到有些同学在试题旁边标注了诸如∠1，∠2之类的记号，那么这个关于角的计算问题我认为可以直接设∠DBC=x，再和已知条件∠CAD=20°结合，会发现已知和未知刚好在两个可以构成8字形的三角形中，如下图

而这种8字形中的两个三角形有一组对等角，所以其余四个角可以构成一个相等关系，即∠ADE+∠DAE=∠BCE+∠EBC。这四个角一个是已知，一个是未知，而另两个刚好是等腰三角形的底角，此时如果再设∠ADE=y，那么∠ABE=y，∠BCE=x+y，从而可得20+y=x+x+y，即2x=20，x=10。现在返回来总结一下，在这一问题中，我用到了一个8字形的模型，还有一个就是方程思想，这两种方法在解答几何题时经常会用到。而一旦用到方程思想的时候，你在图上的标记就可以用x和y这样的字母来代替那些几何符号，而且列出的式子也比较简洁一些。

02 旋转型全等的应用

接下来再看第20题

这个题目的核心是证明△BDF≌△ADC，而证明过程中直角的相等和边的相等是比较容易的，而∠DBF和∠DAC的相等不也是一个8字型吗。你找到这个8字形没有呀。当然了这个题除了8字型外，更重要的一个模型是下面这个这个样子的

这个图形是由两个有公共端点的等腰直角三角形构成的。当把其中一个等腰直角三角形绕点D旋转时，△BDF和△ADC除了一些不构成三角形的位置外始终是全等的。

而在第2问中只需要利用F是BE上一点，而BE是AC的垂直平分线，就可得到AF=FC，自可求出AD的长度，我看到你在图上标了好多角的具体的度数的计算，可能在证明AF=FC上走了弯路。而看完等腰三角形的旋转后，再看下面这两道题：

你们从这两道题目中找到和上面等腰直角三角形的相似之处没有呢？这两道题目看起来比较复杂，但两个问题的核心其实是两个有公共顶点的等边三角形的旋转。其中那个选择题我们在上周已交流过，当你们能根据已知条件进一步求出△ABC的面积，我很为你们高兴，说明你们已完全理解了那道题，那么另一个题我相信你们也应该可以解决的。

03 模型化思想在几何学习中的重要性

但是不是我们只要会做这几个题就可以了呢？其实我想和你们说的是，在平时的数学课程的学习中，你们要时刻做类似于上面的反思，学习数学的过程其实就是一个不断建立模型的过程，我们学过的公式、定理不就是前人建立起来的一个个模型吗？

不是有这样一个段子吗，说用茶壶在煤气炉子上烧水的话，需要先给茶壶灌满水，然后打开煤气，然后等水开。可如果某天茶壶里有水，一般人自然是直接开煤气，等水开了。可数学家却不这样做，他首先是把茶壶的水倒掉，然后再套用以前烧水的模型。尽管这是一个段子，但却说出了数学模型建立的本质。

而且，程序员在编制程序时，也常常采用这种方式，程序员的每一个函数的调用就是对前面建立的模型的一个调用，只是不知道你们们的编程课上有没有涉及到这些知识。

所以希望你们以后再解题的时候，尽量留心这些模型，当一个几何题目不能直接观察出他的解题思路时，就应该回想你以前曾经解过的类似的题型，而这种回想出来的概率大小就取决于你平时解题时的积累，你平时做的每一个难题都是你登上知识巅峰的一个台阶，所以越是难题越应该认真对待。特别是自己不会做，但听了老师讲解后似乎会做的题，一定要重新用自己的思路再理解一遍，找到自己跟老师的思路的具体差别，然后再思考这个差别是知识不熟，还是方法不对，如果是知识点不熟悉就应该将这一知识点记录在一个可以随时翻到的本子上，通过不断强化，直到熟练为止。如果是方法的问题，则尽量理解这种方法的本质，当然能找到相关的模型最好，而且最好能找一个同类型的题自己再试着去做一遍，或者自己将这一题做一些改编，比如交换题目的题设和结论，看能否解答出来，这些活动的目的就是为了在你们的脑子里加深印象，以便在以后碰到类似的题目时它自己自动的跳出来。