  【教育读书】 有趣的数学 ——读克莱格《数学世界的探奇之旅》一书有感 1974年，人们试图与地外智慧生物建立联系，通过位于波多黎各的阿雷西波无线电望远镜向M13星团方向发射了一段讯息。这段信息包含了一系列的数字0和1，还有包含1679个像素的该望远镜的图像。而1679＝23×73，是两个质数的乘积。你看，想和外星人交流，最基本的信息就是数字了。同样，人们在日常生活和科学研究中，数学也是进行思维、开展探究必不可少的基础。 一，有趣的质数 组成物质的基本成分是什么？看到这个问题，我们立刻就会想到分子、原子以及构成它们的基本单位质子、中子和电子。那么，在数字的王国中，有哪些数字具有类似于特点呢？它们就是质数。 质数具有这样的特点，只能被其自身或者1整除。比如说2、3、5、7、11、13、17、19、23……，这些都是质数。质数是数学中最为重要的数字，因为所有其他整数都是由质数相乘得来的。如：105＝3×5×7，2019＝3×673，等等。作为数字中的主要角色，质数就像是镶嵌在无穷无尽的数字链条之上的一颗颗闪烁的宝石。 如果你特别关注质数，就会发现这是一些非常有趣的数字。 首先，质数到底有多少个，到目前为止没有人能够告诉我们答案。我们至今无法找到所有质数，因为没有能逐个算出质数的神奇公式。它们就像是埋在地底的宝藏，但无人握有藏宝图。首先证明质数无穷无尽的是生活在亚历山大港的希腊数学家欧几里得。他是通过反证的方式来论证的。我们都知道，将已知的所有的质数相乘，即可得到一个整数，如果给这个整数加1，则这个新的整数不论被已知的哪个质数相除，都不能被除尽，最后必然会有一个余数1，所以这个新的整数必然是一个质数。当然，我们现在对欧几里得这个人是否存在并不确定，或许他并不是一个具体的人，而是当时数学家们的总称。但不论怎么说，欧几里得在数学领域的成就是不能被抹杀的。 其次，很多生活在长期的进化过程中，有意选择以质数作为它们的生长周期，以此来尽量避开天敌的危险，让自己的种族得以延续。就拿蝉来说，不同地方都能见到它的踪迹，酷热的夏日里那阵阵蝉鸣，总是让人难以忘怀。蝉在地下生活的时间各不相同，有7年的，有13年的，而美洲蝉则要在地下生活17年，才会钻出地面来一展歌喉。不知道我们是否注意到，这7、13、17等数字，都是质数。它们应对天敌的技巧非常娴熟，以至于其天敌要么饥饿而终，要么迁徙别处，只留下保持着奇怪质数周期的蝉类独自狂欢。 第三，质数中存在很多孪生质数。质数麻烦的地方就在于，要确定下一个质数的位置是件十分困难的事情，因为在质数序列中似乎不存在任何模式，更谈不上找规律了。可能有人会认为，随着数字越来越大，相邻两个质数之间的距离也会越来越远，这是一种错误的判断。真实的情况是：可能相邻的两个质数之间差距甚远，也可能在短距离内连续出现好几个质数。这是十分典型的随机过程。这其中，还会出现这样很有意思的质数：如17、19；41、43；1151，1153；102761，102763……像这种两个质数之间的差值为2的两个相邻指数，被称之为孪生质数。2009年，有数学家发现了一对最大的孪生质数，位数达到了58711位。 第四，前面说过，所有的整数要么是质数，要么就是由若干个质数相乘而得到的。这其中，还有一些数字具有很奇特的特点，比如说220和284，他们都是由若干质数相乘得到的，如果你将组成220这一整数中的所有质数想加，将会得到284；反过来，如果你将组成284这一整数中的所有质数想加，将会得到220。毕达哥拉斯把220与284这一对数字称作亲和数，他的门徒们甚至认为这两个数之间存在着爱情关系。珠宝商也用这一对数字做过文章，曾经有一种项链，可以对半拆开，一边刻着220，一边刻着284。 你看，数字绝对不是那样冰冷的，它也有温情脉脉的一面呢。 二，从工具到主导 “几何”（geometry）这个词源于希腊语，原意是指测量地球。古埃及把从事几何研究的人称作“司绳”，暗示这门学科与从事建筑测量及土地分割的人员有关。数学诞生之初的基本功能，就是为了解决日常生活和生产中的各式各样的问题。 随着数学知识的积累越来越丰富，在其中寻找规律成了必然的选择。我们都知道，太阳的运转遵循某些规律（运动方向始终不变，速度大致相同）。在更大的时间跨度里，太阳的高度变化，以及行星和恒星的光芒在天空中的重复性变化，都会表现出一些规律。此外，季节性交替也会表现出一定的规律。在时间跨度更大的情况下，生命本身也会表现出某些规律。我们能够总结出来的规律性的东西越多，我们做事情时就不需要从头学起，这样就可以节约出更多的时间来研究新事物、发现新规律。 在这方面，欧几里得做出了很大的贡献。他为证明过程建立了一套严格的模式。首先为证明规定了一系列条件、公理或者“已知内容”。这些条件、公理或者“已知内容”无法加以证实，但是数学家要完成证明，就必须视其为理所当然。在此基础上，欧几里得几何学为现实世界绘制了一幅逼真的画像，即建立起了关于直线、平面几何的理想模型。随着不断深入研究数学与现实世界的相互关系，人们越来越清楚地看到在科学研究中使用模型的意义。 牛顿和莱布尼茨最伟大的贡献，是将数学作为一种工具，用来解释和分析物理现象。他们所创建的微积分，使我们对运动和力的关系有了更加清晰的认识，也让很多科学家意识到，数学在处理物理问题上有着得天独厚的优势。苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦是在科学研究中最早大量使用数学工具的物理学家之一，也是最早运用统计方法研究气体属性的物理学家之一。他选择了永无停息地做无规则运动的气体作为研究的对象，采用统计的方法对分子的运动特点进行了概括性的描述，并给出了气体整体状态变化的可能性。很多科学家受他的启发，将他的研究延伸到了其他不同的学科之中，比如说对群体行为的研究。虽然涉及到人的问题时牵扯到的因素比较多，但大的发展趋势还是能够分辨出来的。 到19世纪，数学领域发生了两个重要的变化。第一个变化是，人们在数学中使用的方法越来越复杂，学生必须在课后投入大量的时间，才能掌握这些方法。这似乎是一种宿命，伴随着对数学知识的积累越来越丰富，对数学的认知程度越来越高，数学本身也走向了抽象化和综合化，这无疑在普通大众与数学科学之间搭建了一道鸿沟。现在，很多人面临发生的身边的、与数学有关的现象，根本就不具备解释的可能性，就是这种变化的例证。第二是数学与科学研究之间的关系发生了逆转。在19世纪之前，数学一直是为科学研究提供服务的，但是到了20世纪，数学逐渐占据了主导地位。 当下的学校里有一个非常奇怪的现象：在中学毕业之前，学生们学习的物理学知识与19世纪末的物理教学内容完全相同。对于1900年以后的物理学，他们可能略知一二，但除非他们上大学之后继续学习物理，否则就不大可能了解这门科学在20世纪到底取得了哪些发展（更不用说21世纪的物理学了）。之所以会出现这样的状况，涉及的因素可能比较复杂，但有一点是非常不可忽视的，就是随着量子力学等在20世纪创新的物理学理论的新进展，物理学已经发生了根本性的转变，很多物理学家是根据数学函数的特征来研究物理学的，在数学运算的基础上提出某一个猜想之后，再有物理学家通过实验的方式加以检验。比如说基本粒子的理论，就是科学家根据对称性等理论，从数学的角度提炼出来，然后在实验中一个个被发现的。从本质上讲，量子物理似乎从根本上把现实变成了数学。 现在物理学和天文学领域最热门的话题之一，就是黑洞问题，而现在有关黑洞的各种理论和猜想，都是数学的产物。从物理学的层面上，还没有找到很好的印证黑洞是否存在的方法和途径。 现在很多里理论物理学家，首先就是数学家。他们从数学的角度通过推理、演算等提出相关的猜想，然后交由实验物理学家通过巧妙地实验装置和实验步骤来确认所得结论的可靠程度。数学和物理、化学、生物……之间的关系，也越来越交融了。 三，魔幻般的数学 数学诞生之初是为了解决现实生活中的问题，但随着数学这门学科的不断发展，数学与现实生活的之间的距离越来越疏远了。先是负数的出现，让数学和现实开始出现隔阂，然后数学又引入了虚数，这个虚数有什么具体的意义，连创造者自己都不明白。 虚数是因为开方数字中因为有负数而设计出来的，但当时界定虚数这个概念的时候，数学家们都不知道它有什么样的价值。在19世纪的时候，高斯发现虚数可以方便地拓展数轴，形成二维的数字平面，至此，虚数的价值才表现出来。后来，人们发现，负数是描述各种波的理想选择，因为这些波天然地具有二维的形态。在物理学领域，从简单基本的电场计算到复杂深奥的量子力学方程，我们都可以看到虚数的身影。换句话说，虚数当初被定义的时候，显然与物质世界中的任何事物之间没有构成直接的对应关系，但最终它竟然是解决现实世界难题的绝佳工具。 在发现虚数之后的时间里，数学家们继续发挥他们的聪明才智，创造了一个又一个新奇的数学理论体系。这其中，大多数的理论体系与现实生活是没有关联的，或者说在这个理论提出之后的一段时间里，数学家自己也无法判断它的意义和价值。但之后的某个时刻，物理学、化学、生物学中的某一员，就会在不经意之间认识到其发现的价值和意义，并通过相关的途径加以推介。在这个过程中，数学自身的魅力也得到了提高。 数学家在研究数学时无拘无束，根本不需要考虑其是否与现实有关。他们正在不断突破可能性的限制，尽可能地拓展数学的应用领域，提出了一系列在逻辑上不会产生冲突的概念。即使搭建而成的完整结构在现实世界中没有实用价值，也找不到与之匹配的对象，他们也乐此不疲。与此同时，他们还为自己的所作所为感到震惊、困惑。相反，科学家的工作就不是如此。无论是依据数学原理推到出来的可能的物理现象，还是从实验观察和测量中洞察事物的本来面貌，他们都要依据事实来说话，所得出的来的实验结果和结论，也必须能解释所观察到的物理现象。 这样的魔幻般的数学，正是21世纪数学学科的常态呢。   '’'’  |
|
|
