|
在解决著名的七桥问题时，欧拉发展出了拓扑学，关于点线面关系的学问。他提出了一个定理——V+R-L=1。这个公式敝号在《无言的宇宙》中介绍过了，V是指构成一个几何图形的顶点（线段的交点）的数量，R是顶点和线条围成的封闭区域的数量，L是线条的数量。顶点与封闭区域数量之和，减去线条数量等于1。极其巧妙简洁的公式，欧拉几乎是在吃饭之前的时间里推导出来的——从最简单的图形开始，比如一个点，然后一个点一条线构成一个圆，然后再考虑几个有线和点但不构成封闭区域的特殊情况，检验一下，都成立，则推出此公式。 欧拉确立了自牛顿和莱布尼兹以来逐步形成的模式——发明一种数学概念或方法，创造性地解决疑难问题。实际上，多数数学概念都是发明创造——诸如无理数、负数、虚数。它们之所以能出现，都是因为能够简化对一些疑难问题的解决，如虚数对于自由摆动运动、电磁振荡的计算等等。 欧拉为解决费马大定理问题，发明了无穷递归式的证明方式，为了证明n，先证明n=4的情形，然后想方设法从n=4的情形延伸到n=3的情形，从中找出递归迭代模式，用以证明无穷多种的情况。这种证明方式，严格来说，其实也是费马自己创立的——欧拉从费马的笔记中发现了他貌似就是从n=4这个情形开始证明的。 欧拉引入了虚数方法，证明了n=3时，方程X3+Y3=Z3是没有整数解的，此时费马定理成立。但他无法再延伸到n=5。 看起来仅仅是两步，其实进步很大——如果3可以证明，那么6，9，12…就容易证明了，如果4可以，那么8，12，16…就都可以证明了。最重要的是，如果n=5能够证明，则加上3，可能就能找到所有质数证明的模式——质数是所有整数的基础材料，任何整数都可以表现为质数的和或者积。 这其中最大的障碍，也是一致持续到现今的一个问题，就是如何处理无穷这个概念。按逻辑上来讲，所有的整数这个集合，肯定要大于所有的奇数这个集合，但当你把每个奇数都与一个整数一一对应时，会发现这个对应可以一直持续下去，结果就是，貌似其实这两个集合可能是一样大的。当然也就包括质数集合，逻辑上来看，质数也有无穷多个，虽然随着数字增大，质数出现的频率急剧下降，但它依然会不断出现。 质数是个很奇妙的东西，因为除了1和它自己，它不能被任何其他数整除。观察质数在自然数列上出现的频率，会随着数字增加而急剧下降，比如1，3，5，7，11，13，17， 19看起来还挺多，往后就麻烦来了，到100以上，质数间的距离摆动越来越大，越来越没规律。0-100之间有25个质数，而在10000000到100000100之间（同样也是100个数的区间）就只有2个质数了。特别奇怪的是，100以内的质数，37，59和67都有很强的独立性，在对费马定理证明的过程中，都需要独立加以解决。 最好玩的质数现象，是昆虫生命周期。 有一种蝉，生命周期是17年，长达近16年多的地下黑暗生活，然后几个星期在阳光下的鸣叫。看起来比较奇怪，为什么生命周期会是17这个数字。其实考虑到威胁它的寄生虫问题就可以得到一个简单的解释——生命周期最好是一个较大的质数，以躲开寄生虫的生命周期，保证自己种群的延续。比如，寄生虫的生命周期是2年，那么蝉最好就要避开能被2整除的生命周期，不然总是会遇到寄生虫。17就是一个对于昆虫而言比较好的质数，因为寄生虫如果周期是2年，那么它和蝉就只能每34年才能碰到一起一次，如果寄生虫生命周期是16年，那么就更长，需要272年才能碰到一次。这样就最大限度保证了蝉的安全性。欧拉之后对费马大定理的突破来自一个叫索菲·热尔曼的女性，她于1776年出生于法国。热尔曼出生于商人家庭，从小对数学就有痴迷兴趣。不过那个年代女性是没有资格上学的，于是她就冒名顶替了一个已经弃学的男生——奥古斯特·勒布朗，偷偷在巴黎工学院学习。 搞笑的是，勒布朗的数学老师是大名鼎鼎的拉格朗日，他惊奇地发现这个勒布朗居然在经历了一个假期之后，变得无比强悍，突然展现出了非凡的数学天赋。于是他就要求勒布朗来见面，这才发现了热尔曼。热尔曼证明了n=5的情况下，以及一系列有关（2p+1）形式的质数情况下，费马定理大概是成立的。这个证明过程比较模糊，不过已经让当时的绝顶高手——高斯非常震惊了。此后大概近半个世纪的时间，数学家们如拉美和柯西，都沿用了热尔曼的证明思路，不断精确化，进一步推进到了n=7的情况下，费马定理是对的。 热尔曼当时还只有20岁！ 不过接着数学家库默尔就论证发现，这个定理并没有一个统一的概括性的证明方法，本就是无解的证明。多年以后，似乎对它的热情就消散了。这一消散就是一百年。 值得一提的是，与热尔曼同时期的，还有一位法国数学家——那个时代的法国简直就是领导全球数学潮流——伽罗瓦。伽罗瓦的天才，直到他去世很多年后，才为人们认识到和感叹到。 相比热尔曼，伽罗瓦是一个非常不幸的天才。自少年时代就展现出非凡的数学天赋，因为父亲的影响，热心政治——这是他之不幸的根源，他热衷于拿破仑时期的法国共和政治，拿破仑倒台之后，他也一直坚持与复辟的波旁王室做斗争。他这种政治立场，导致他始终受到迫害，他的关于四次方程、五次方程通解的论文，居然能够两次被两个人弄丢！一个是拉格朗日，一个是柯西——这在敝号《无言的宇宙》中提到过，两个最著名的数学家，居然能把最强悍的数学论文弄丢两次——就跟国内一遇上特定人群的特定情况时，监控摄像头就很懂政治地坏了一样。当然，后来人们认为应该不是不小心，而是有意——政治迫害。伽罗瓦最终是在被陷害的一次决斗中，被人枪击致死，死时年仅20岁。他在研究五次方程通解的时候，发明了一个影响到了费马大定理证明的关键数学工具——群论。其实就是一个方程可能的解的集合，可以产生一些独特的数学性质。1908年，一个德国实业家沃尔夫斯凯尔出现了，神奇地为这个定理注入了新的想法。这哥们对费马大定理的兴趣，起源于一次自杀。 因为他热恋的女人拒绝了他的求爱，于是他决定自杀。作为一个业余数学爱好者，他详细的制定了自杀计划，决定在某个午夜钟声响起时枪击自己。所有要做的事情在午夜来临之前几个小时都处理好了，为了消磨自杀前的几个小时，他开始翻阅数学书籍——他看到了库默尔的论证，突然间，他发现库默尔的论证中有一个漏洞，如果库默尔是错的，那就说明，费马大定理是可以被证明的。他一直论证到第二天上午，显然错过了自杀时间。不过他弄清了费马大定理可以被证明的事实。于是沃尔夫斯凯尔把自己财产的很大一部分用于设立了这个奖项——奖励10万马克给第一位证明费马大定理的人。 沃尔夫斯凯尔的贡献在于，再一次激发了所有人对于证明数学定理的热情，几乎成了一场遍及欧洲的群众运动。 在对数论问题的重新整理过程中，希尔伯特发现了一个要命的问题——有史以来几乎所有大家都认为不言自明的公理和定理，其实都没有被严格地证明过——比如2+2=4这种，比如三分律，一个数，要么是正数，要么是负数，要么是零，也没有被证明过，诸如此类。于是希尔伯特启动了20世纪初数学史上最伟大的运动——重新审视数学的逻辑基础，几乎是重新构建数学。正是在这个过程中，罗素发现了数理逻辑里要命的问题，数理逻辑似乎根本就达不到希尔伯特所希望的完全相容，即能证明一个命题对，就不能又同时证明这个命题错。 紧接着神奇的哥德尔就拿出了他那名垂青史的证明——哥德尔不完备定理，这个定理说了两句话：第一，如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明，又不能否定的定理；第二，不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。也就是说，数学的相容性和完全性是达不到的，再精密的公理体系也无法确定不会有矛盾出现。说白了，哥德尔又回到了沃尔夫斯凯尔认为解决了的那个问题——存在那种真的命题，但无法证明。 这无疑又是对致力于证明费马大定理的人们的一大打击，这个定理可能确实无法证明的。当然，这也在一方面说明，费马大定理的观点可能是对的，就是方程是没有整数解的。 不过好消息是，受益于图灵的工作（参见敝号去年推介的《图灵传》），计算机被引入到了证明过程中。数学家们可以使用从前看起来比较笨拙的办法，一个个计算一个个证明，从100以内的质数，到500以内的质数，一直到20世纪80年代，美国数学家瓦格斯塔夫提高到25000以内的质数，现代则已经提高到了400万以内的质数，在这个范围内，费马大定理依然是正确的。 但你懂的，即便算到10亿，又能说明什么呢？ 一个很有趣的例子就是欧拉仿照费马大定理推出的一个猜想——X4+Y4+Z4=W4，也是无解的。大家也尝试了很多种解法，包括计算机去一个个试。结果，1988年哈佛大学的数学家埃尔吉斯发现了这个方程的整数解：26824404+153656394+187967604=206156734，于是欧拉这个定理被证明为错的了——也真是佩服这些在我们看来吃饱了撑的研究精神。在没有计算机的时代，谁会想到到了百万级的数字，会发生这么大的变化呢？费马大定理也面临同样的问题，谁知道是否到了千万级，亿万级数字不会出现一个反证呢？ 这就是数论的可怕。 |
|
|
