图形与几何---垂线

一．概念描述

现代数学：若两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角，则称这两条直线互相垂直，这时四个交角都是直角。交点称为垂足，亦称垂趾。垂直用“I”表示，读作“垂直于”。若两条直线互相垂直，则其中一条为另一条的垂线。

小学数学：小学阶段各版本教材对垂线所下的定义是相同的。即如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫作垂足。

二．概念解读

垂线所研究的是平面几何中两条直线的一种位置关系，所以“在同一平面内”是研究垂线的前提条件。垂线的上位概念是两直线“相交”。有唯一公共点的两条直线称为相交直线。当两条直线相交后，必然会产生交角。当两条直线相交所构成的四个交角中有一个是直角。这两条直线就互相垂直，其中一条直线称为另一条直线的垂线。因此，两直线垂直属于两直线相交的范畴，垂线亦是相交线的一种特殊情况。

早在公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》中就提出了垂线的定义：“当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角中的每一个被叫作直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。”这里对于垂线定义的描述虽与现代数学定义在描述上稍有不同，但其实质是

相同的。随着对垂线的深入研究，一些重要结论的出现，丰富了人们对垂线概念的认知。如“同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”、“点到直线间垂线段最短”，这些结论在小学数学教材中都有涉及，能够帮助学生加深对于平面内两直线垂直这种特殊位置关

系的理解。

数学符号是数学抽象思维的产物，因此“I”符号的产生是源于垂线的特征，它来源于象形，实际上是缩小的图形。小学数学教材中是以在图中两直线相交处标示“┒”，来表示两直线互相垂直的。

三．教学建议

在小学阶段的平面几何中，垂线的概念非常重要。它是认识三角形、平行四边形、梯形等平面图形特征的基础。我们可以从以下几方面着手进行教学。

(1)小学阶段垂线概念的形成要经历两次抽象

垂线概念的形成要借助直观，使学生在活动重经历概念的形成过程，并要体现两次抽象：一是从“实物”抽象出“图形”；二是从“图形”抽象出“概念”。由于相交线是垂线的上位概念，两者联系密切，所以教学时两者不能分开。因此，垂线的教学可以通过生活中有关相交线（含垂线）的场景图引入，隐去非本质的内容，进而抽象出相交线的几何图形，使学生获得两条直线位置关系的生动表象，经历把生活问题抽象成数学问题的过程。然后通过观察、操作、分类等数学活动，用从一般到特殊的研究方法，将图形中的垂线从相交线中分离出来，再对垂线的本质属性进行研究，从而抽象出垂线的概念。

(2)在分类中辨析，建构垂线的几何模型

在学习垂线时，分类的数学思想起到了十分重要的作用。陈海霞老师在讲这一内容时，先引导学生在一张纸上画出两条直线不同位置关系的多种情况，并让学生进行分类。学生将其分成两类：相交和不相交。对于相交的情况，陈老师又引导学生进行再分类。学生又将相交线分成了相交成直角和相交不成直角两类。其中两条直线相交成直角的这种特殊情况，便是两直线垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。学生对垂线几何模型的建立，主要是在两次分类和辨析的过程中建立的。学生在分类辨析的过程中，更加明确了两条直线垂直与相交的关系，以及两直线垂直是两直线相交的一种特殊情况。

(3)沟通联系，培养学生的空间观念

由于生活中不存在直线，因此教学垂线时，教师要帮助学生沟通有限（线段）和无限（直线）之间的联系。这个沟通的过程，有的教师采用画线的方法，有的教师采用摆小棒的方法，引导学生进行无限长的想象。在此过程中，学生的空间想象力得到了发展。

在教学垂线时，还要注意沟通垂线和生活的联系。2011版《课标》指出，“要结合生活情境了解两条直线的垂直关系”。又因为生活经验的回忆与再现是发展学生空间观念的有效途径之一，因此，教师要结合生活中一些需要用垂线解决问题的情境，使学生感受到在现实生活中有一些问题需要用到垂线的知识来解决。如“要在新建小区到公路间修一条小路，怎样修最近？”这个问题的解决，实际需要利用“点到直线的距离最短”的垂线的性质和垂线的画法。在解决问题的过程中，学生不但感受到了数学的应用价值，同时还培养了其空间观念。