【原】小升初培优课堂数学第35讲 容斥原理及答版案

2019-2020学年度小升初培优课堂数学第35讲 容斥原理

评卷人	得分

一、解答题

1.如图，一个长8厘米，宽6厘米的长方形与一个边长5厘米的正方形叠放在桌面上，求这两个图形盖住桌面的面积？

2.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？

3.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？

4.两个正方形的纸片盖在桌面上，位置与尺寸如图所示，则它们盖住的面积是多少？（单位：厘米)

5.六（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有多少人？

6.一个班有42人，参加合唱队的有30人，参加美术组的有25人，有5人什么都没有参加，两种小组都参加的有多少人？

7.奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内直径为8厘米，外直径为10厘米的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积相等，已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米。求每个小曲边四边形的面积。

8.有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?

9.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？

10.某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球。那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？

11.分母是105的最简真分数有多少个？

12.如图，有三个面积各为20平方厘米的圆纸片放在桌上。三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是36平方厘米。图中阴影部分的面积之和是多少平方厘米？

参数答案

1.67平方厘米

【解析】1.

阴影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，两图形的面积和减去阴影部分的面积，即是两个图形盖住桌面的面积。

解：8×6＋5×5－3×4÷2=67（平方厘米）

答：盖住桌面的面积是67平方厘米。

2.5人

【解析】2.

把17人和14人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数。

解：17＋14－26=5（人）

答：两组都参加的有5人。

3.9人

【解析】3.

先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。

解：19＋25－7=37（人）

46－37=9（人）

答：既不会骑车又不会游泳的有9人。

4.10.75平方厘米

【解析】4.

3×3+2×2-1.5×1.5

=9+4-2.25

=10.75（平方厘米）

答：它们盖住的面积是10.75平方厘米。

5.42人

【解析】5.

37+26-21=42（人）

答：全班喜欢打乒乓球或羽毛球的同学共有42人。

6.18人

【解析】6.

至少参加其中一种的人数：42-5=37（人）

既参加合唱又参加美术的人数：30+25-37=18（人）

答：两种小组都参加的有18人。

7.2.35平方厘米

【解析】7.

由题意得：五个圆环盖住的面积=5个圆环的面积之和-8个小曲边四边形面积，根据圆环面积=π（大圆半径的平方-小圆半径的平方），计算出一个圆环的面积，再乘5就是5个圆环面积，所以一个小曲边四边形面积=（5个圆环的面积之和-122.5）÷8，代入计算即可。

一个圆环面积为：

3.14×[（10÷2）²-（8÷2）²]

=3.14×9

=28.26（平方厘米）

所以一个小曲边四边形面积为：

（28.26×5-122.5）÷8

=（141.3-122.5）÷8

=18.8÷8

=2.35（平方厘米）

答：每个小曲边四边形的面积是2.35平方厘米。

8.90

【解析】8. 

我们只用先计算剪了多少刀，再加上1即为剪成的段数．

从一端开始，将绳上距离这个端点整数厘米数的点编号，并将距离长度作为编号．

有1～180，3的倍数有＝60个，4的倍数有＝45个，而既是3的倍数，又是4的倍数的数一定是12的倍数，所以这样的数有＝15个．

注意到180厘米处的记号无法剪断，所以剪了(60－1)+(45－1)－(15－1)＝89，所以绳子被剪成89+1＝90段．

9.60人

【解析】9.

20+24+31-5-6-7+3

=75-5-6-7+3

=60（人）

答：这个年级参加课外小组的同学共有60人。

10.4人

【解析】10.

这道题可以采用逆思考的方法，找出至少一项运动不会的人数，然后用全班人数减去至少一项运动不会的人数，剩下的是三项运动都会的人数；由已知，不会游泳的有21人，不会骑车的有15人，不会打乒乓球的有8人，至少一项运动也不会的最多的人数即可算出，再根据容斥原理，由此即可求要求的出答案。

解：不会游泳的有48-27=21（人）

不会骑车的有48-33=15（人）

不会打乒乓球的有48-40=8（人）

所以至少有一项运动不会的最多有：21+15+8=44（人），

那么全班三项运动都会的至少有：48-44=4（人）；

答：至少有4人会三项运动。

11.48个

【解析】11.

分母是105的最简真分数的分子应小于105，只能是1-104中的自然数。而且分子要与105互质。因为105=3×5×7，所以分子不能是被3、5、7整除的数。

能被3整除的数有105÷3-1=34（个）（因105除外，所以要减1）；

能被5整除的数有105÷5-1=20（个）；

能被7整除的数有105÷7-1=14（个）；

能同时被3和5整除的数有105÷（3×5）-1=6（个）；

能同时被3和7整除的数有105÷（3×7）-1=4（个）；

能同时被5和7整除的数有105÷（5×7）-1=2（个）；

所以能被3、5、7整除的数一共有34+20+14-6-4-2=56（个）；

不能被3、5、7整除的数一共有104-56=48（个）

12.8平方厘米

【解析】12.

根据本题题意和容斥原理知道，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三张纸片重叠的面积的2倍（因为是两个重叠在一起，所以乘2），由此即可求出答案。

解：20×3-36-8×2

=60-36-16

=8（平方厘米）

答：图中阴影部分的面积和是8平方厘米。