【原】第一百五十八夜 探索互相垂直的焦点弦

有没有感到惊喜？

惊喜什么？

没什么。

难道一点感觉都没有？

感觉什么？

没什么。

太遗憾了，他日勿怪我辜负了你，是你辜负了题。

牛不喝水强按头，无奈没有慧根，终究难以觉悟。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

本题仿自2010年山东高考试题，只是难度远小于山东高考。

看似探究问题，本质上是定值问题，即互相垂直焦点弦倒数和为定值。焦半径和焦点弦是圆锥曲线的重要性质，亦是高考永恒的话题。

涉及到弦长的问题一般可采用弦长公式直接求解，当然借助直线的参数方程的几何意义求解效果也许更好。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

本题考椭圆，涉及点到直线的距离、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点，综合考查等价替换的思想、转化与划归的思想，属于中档题。

法1，通法，直接求得弦长，然后求出定值。

法2，利用直线参数方程的几何意义求得弦长。

值得说明的是，法1与法2皆用到了替换法。法1中利用垂直替换斜率，法2中利用垂直替换角度，替换的目的皆是减少运算量。

另外，关于互相垂直的焦点弦，有以下性质：

对于双曲线和抛物线也有类似的结论，感兴趣的可自行推导，此处略过。

下面用定理来求解：

掌握这些结论有什么好处？

不知道，但我总是先有了结论再去考虑过程的，不知道这算不算？

可掌握这些二级结论需要耗费大量精力，增加额外负担，甚至得不偿失。

是。所以没有强求，只有取舍。懂得取舍方能从容进退，不负人生。

4  操作

行同陌路，抑或一见如故

兴来一挥百纸尽，骏马倏忽踏九州。

我书意造本无法，点画信手烦推求。