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试题呈现 试题：如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为  这是2017年天津中考的第17题，可能也是我做和讲的遍数最多的一道题，一开始并没有觉得这道题有什么特别的地方，后来经过一年获得了一个奇妙的解法（九宫格法），感觉这道题有点奇妙，但是也并没有意识到她有多妙。 就在前阵子19年3月份，在讲授过程中，学生又提出了一种新的解法，这道题几乎每讲一次，就有学生提出新的解法，然后就在给初二学生讲这道题时又提出了一种新解法，顿感，此题真是妙趣无穷，不仅初三可以做，而且初二可以做，不仅可以作为训练，也可以作为一题多解的欣赏好题。 于是专门抽时间来研究这一道题，果然，此题确实精妙。不仅可以一题多解，还可以一题多变，这个变不是普通的变，而是可以通过变把近几年几道考过的中考压轴题囊括其中。 下面就让开始此题的探索之旅，看看什么是一题多解，一题多变，多题归一；什么是数学之美，什么是思维之美！ 思考角度一 构建直角三角形 17年，最开始看到这道题，想到的做法如下： 需要构建直角三角形，那么如何构建直角三角形呢？ 易得辅助线如下：  图1 利用正方形的特点，横平竖直作辅助线先试一试，延长GE交AB于点H，过点P作PI⊥HE，这样就出来了Rt△PIG，其中易证四边形BFEH为矩形，然后就得出BH=EF=1，进而推出AH=AB-AH=3-1=2,利用PI⊥HE（这是我作的辅助线），AH⊥HE可以得到PI//AH，又因为点P为AE中点，所以可以得到PI为△AHE的中位线，所以PI=1/2AH=1，同时IE=1/2HE=1,最后在Rt△PIG中，两直角边一求，斜边PG利用勾股定理就可以轻松得到了，答案是根号5 此题短小精悍，对于初三的优等生而言，应该是轻松解决，对于初三的中等生而言，则需要动脑片刻，也可能还想不出来，因为他们缺乏作辅助线的经验，不过也就是这样，这题才有意思，我们可以探索出这题的若干解法，而不是只拘泥于一条路。 下面基于建立直角三角形的想法，我们还可以作出如下几种辅助线：  图2  图3  图4 这是几种学生容易想到的解法，图2由李博涛同学最早提出，图3需要用到梯形中位线的概念，当然利用矩形也可以证得，图4需要证全等和梯形中位线。图2辅助线添加方法巧用小正方形构造直角三角形，比图1会更简单。图3图4较为复杂，但也不失为一种方法，数学上条条大道通罗马，只是有简与繁的区别。 思考角度二 网格法 构造直角三角形本以为到此为止，不曾想一次讲座，听到以下一种解法，振聋发聩！  图5 因为大正方形边长是3，小正方形边长是1，所以可以画出格子，这样直接勾股定理轻松秒杀。当时听到确实惊叹！ 不过现在细细想来，这方法也只能在选择填空题使用，若是解答题，这法子恐证明复杂。 思考角度三 坐标系法 当然作为初中生，还可以从这题学到另外一种解法，这种方法解答中考17题具有极大杀伤力，也就是建系法，如图：  图6 以点B为原点，BC为X轴建立平面直角坐标系，这样就可以把相关点的坐标表示出来了，然后利用中点坐标公式可以求点P坐标，最后使用两点距离公式求PG长度。特别注意一下，中点坐标公式和两点距离公式为高中学习内容，但是初中生其实是可以掌握了，对于作辅助线能力比较弱的学生而言，此法可以说是救命良药。对于优等生而言，这两个公式分别可以通过中位线定理和勾股定理推出。 总结一下，坐标系法适用于几乎一切求线段长度的题目，直接套用即可，并没有什么思维含量，不过此法也有缺点，那就是难算。几何法好算不好想，建系法好想不好算，突然感叹世界真是巧妙，为了关上这扇窗时，又打开另一扇门，或者打开这扇窗时，又关上另一扇门。 此题本以为就此结束了，没想到在给初二学生讲解这道题，又迸出几种解法！ 思考角度四 中位线法 上课时，学生进行了激烈讨论，其中刘宇轩同学率先提出以下想法：  图7 如图连接EG，取DG中点I，然后连接PI。 其中关键是利用了中位线EG，再算出PI的长，最后利用Rt△PIG求出PG的长，一个初二学生能想到此方法确实不易！不过突然有人反驳，你怎么知道IG会垂直PI呢？更要命的是有人提出你怎么知道点P、点E和点C会在同一条直线上呢，学生的思维是多么缜密！还好，后来在大家的帮助下，刘同学补证了这两个漏洞！ 接着，郭晓峰同学提出了另一种思路，经过修正，得如下图：  图8 这样PG就成为了△AEL的中位线，然后AL的长度只需要在Rt△ALM中求解即可。其中易证四边形DCKM为矩形。 在此基础上，我也受启发，想到了一种解法：  图9 取CG中点N然后连接EN,CE,这样易证EN为△PCG的中位线，然后在Rt△ENG中易求EN的长度，进而求出PG的长度。 其实以上几种都是利用中位线的方法去求解。 稍微停顿一下，有中点，可以利用中位线，那还有没有其他方法呢？比如中点的四大模型，倍长中线，斜边中线或者三线合一，确实可以。 思考角度五 倍长中线 利用倍长中线，我们可以作出如下辅助线：  图10 图11 向左边倍长中线得到如图10，向右边倍长中线得到如图11，证明略 思考角度六 三线合一 可以倍长中线，能不能三线合一，试试也行： 图12 这里既然藏着一个等腰三角形，其实此法与图3雷同了，并且还要复杂，不过也算是一种欣赏吧。 至此这道题12种解法，其中主要可以归纳为从3个方向去思考：构造直角三角形，中点模型，坐标法，当然还有一种特法，就是网格法。一言以贯之，此题都是巧妙地使用了正方形和中点的一些特性将其解答。此题之妙，在我看来，就是一题贯彻多法，达到了极好训练思维，发散思维的目的。 除了一题多解外，此题还能一题多变，其变式更加让人瞠目结舌！ 一题多变 变式一：长度发生改变，大正方形变大，变成为4，如图： 上述几种方法都还可以使用。 变式二：小正方向缩小，变成0.5 其实和上述变式差不多，各种方法都还可以使用。 变式三：大正方形变成矩形，假设长为4，宽为3 变成矩形后还是可以使用同样方法进行计算。 变式4：集体变成平行四边形，平行四边形ABCD中，AD=3，点A到BC距离为3，平行四边形EFCG中，FC=1，点P仍然为AE中点，求PG的长。 此题看似和前题很一致，但是注意此平行四边形并不是菱形，所以会存在一定难度。同时因为没有说小平行四边形的高是1，所以首先需要对此进行证明，然后再利用构造直角三角形或者中点模型解决。 如图作辅助线，利用相似可以说明，过程略微繁琐。 变式5：此题还可以将正方形变成正三角形，然后进行命题。如图。 如果我们把其中的图形动起来看一看，再综合一下边、角或面积的元素进去，那么一道良好的中考压轴题就出来，请看： 动画演示： 这里我们可以看到一个有一个隐藏的圆出现，如果把这个隐藏的圆显露出来，那么最长距离就容易求解了，利用最长最短在直径上就可以求解。 小正方形发生旋转，绕点C顺势针旋转360度，点P一起动，求点P轨迹长 动画演示： 从动画可以看出，这是一个主从联动的轨迹问题。我们完全可以利用位似的方法搞定。 点K为大正方形对角线的交点，小正方形旋转，求△KCG面积的取值范围 过点K向CG作一条高KH，可以通过高的长度变化知道三角形面积的最大值和最小值。此时此题就变成了2018年的天津中考第24题。 演示动画： 点K为大正方形对角线的交点，小正方形旋转，求△KEG面积的取值范围 动画演示： 我们追踪一下高KH点H的轨迹，可以发现它是一个神奇的图形！！！ 此处可以就面积命制很有意思的题目，题目中竟然隐藏这么美丽的图形，足可以体现命题人的匠心独运了！ 变式：旋转过程，连接BF并延长，连接AE并延长，射线BF和射线AE交点为P，求∠APB的大小，求点P的运动轨迹 动画演示 我们可以看到点P的运动轨迹是一段圆弧，此处就有点类似2014年天津中考第24题。 此题还可以设问求解角P的度数，也是一个很好的压轴题。 正方形旋转过程中，我们还可以看到手拉手模型。 如图，当小正方形绕点C旋转时，其中点P为AE中点不变，求证BP和PG的关系，。这也是一个很好的压轴题，是一种不对称型的手拉手。 可以有两种解法，利用中位线补全或者倍长中线补全即可，解法也非常经典。有兴趣的读者可以做一做。曾经是天津外省的一道经典中考题 如果改变一下小正方形的大小，然后将小正方形进行平移，又可以得到一个很好的压轴题，如图 此题可以设问，小正方形与三角形ABC重叠面积属于某一个范围时，然后正方形移动距离的范围。这样就成为了2019年天津中考第24题了。这是不是无意中压中了中考题？ 动画演示 此题是否还有精妙变化，不得而知。探索的道路是无穷的。 试题总结 最后不得不感叹，此道17年17题之精妙，入口浅，题干图形及其简单，解法多种多样且都较为经典，可以总结出较好的通性通法，不像有些题题目题目文字就一大堆，图形还不简洁漂亮，数据还很难算，即使有一定难度或者思维量，但是并不能很好地训练学生，题目的价值也就不高。 其次，此题入口浅，但是却可以变化无穷，通过图形的旋转可以造就出了极佳的压轴题，在中考中确实也出现了这样的题目。像这样入口浅，出口深，题干简洁的题目，可以说是数学中的良品。值得学生和各位数学教育者好好品一品。 最后为此题赋一诗。 此题好似一壶美酒，一开始并没有得到多少赏识，恐看完此文的人也很难体会其中的奥妙。所以我借用李白《将进酒》里面几句诗来结个尾。 君不见，（此题）黄河之水天上来，奔流到海不复回！ 君不见，（解题人）高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪！ 与君歌一曲，请君为我倾耳听！钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒！ |
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