3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝...

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1/2x ²+bx+c的图象与直线y＝﹣ x+3交于A、B两点，且点A在y轴上，点B的坐标是（4，1）．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C．

①求点C的坐标；

②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出此时PA+PC的值；若不存在，说明理由；

③除点C外，在坐标轴上是否存在点Q，使得△QAB为直角三角形？若存在，直接写出所有能使△QAB为直角三角形点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）先由y＝﹣1/2x+3，可得与y轴的交点A的坐标，再把B（4，1）和A（0，3）代入y＝﹣1/2x ²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式；

（2）①设直线AB与x轴交于点D，则D（6，0），由△AOC∽△DOA可得，OC＝3/2，即点C的坐标为（﹣3/2，0）；

②由抛物线：y＝﹣1/2x ²+3/2x+3，可得其对称轴为直线x＝3/2，设点A关于x＝3/2的对称点为A′（3，3），连接A′C交直线x＝3/2于点P，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可知，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，运用两点间的距离公式求出A′C的长度，即为此时PA+PC的值；

③分两种情况：

（i）以B为直角顶点时，过B点作AB的垂线与x轴交于点Q₁，与y轴交于点Q₂，

易求直线BQ1的解析式为y＝2x﹣7，所以Q₁（7/2，0），Q₂（0，﹣7）；

（ii）以Q为直角顶点时，以AB为直径作圆交x轴于Q₃，Q4，与y轴交于点Q5，

以AB为直径的圆的方程为（x﹣2）²+（y﹣2）²＝5，

当y＝0时，x＝1或3，所以Q₃（1，0），Q4（3，0）；

当x＝0时，y＝1或3，所以Q5（0，1）．

综上可知，所求点Q的坐标为：Q₁（7/2，0），Q₂（0，﹣7），Q₃（1，0），Q4（3，0），Q5（0，1）．



例4.如图，抛物线y＝x²﹣4x﹣5与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴．

（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值．

（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．



【解析】（1）分别令x＝0和y＝0代入抛物线的解析式中，可得A（-1，0），B（5，0），C（0，-5），可得对称轴x=2;

（2）根据矩形周长公式表示四边形EHDF周长，并根据二次函数的顶点式可得四边形EHDF周长的最大值；

如图1，∵E（m，n），且2＜m＜5，∴E在第四象限，

∴EF＝m﹣2，EH＝n＝﹣m²+4m+5，

设四边形EHDF周长为W，

则W＝2（EF+EH）＝2（m﹣2﹣m²+4m+5）＝﹣2m²+10m+6＝﹣2（m﹣5/2）²+37/2，

∵﹣2＜0，∴当m＝5/2时，四边形EHDF周长的最大值是37/2；

（3）分三种情况：

①当∠CBP＝90°时，如图2，根据△PDB∽△BOC，列比例式得：PD＝DB，可得结论；

②当∠BCP＝90°时，如图3，根据△PCG∽△BDG，则CG/PG=DG/BG，可得PG的长，从而写出P的坐标；

③以AB为直径画圆，交对称轴于P ₁、P ₂，如图4，根据△P ₁DB∽△CHP ₁，则P ₁D/BD=CH/HP ₁，列方程可得结论．

综上所述，点P的坐标为（2，3）或（2，﹣7）或（2，﹣6）或（2，1）．