2010全国中考数学试题汇编:压轴题(二)及答案

2010年部分省市中考数学试题分类汇编 

压轴题(二)

24. (金华卷)如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以3(3) (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．

请解答下列问题：

（1）过A，B两点的直线解析式是  ▲  ；

（2）当t﹦4时，点P的坐标为  ▲   ；当t ﹦  ▲   ，点P与点E重合； 

  （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？

② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）；………4分  （2）（0,），；……4分（各2分）

   （3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）

          ∵,,∠∠90°

          ∴△≌△，∴﹒

又∵,∠60°,∴

          而，∴,

          由得  ；…………………1分

          当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；

          当点P在线段上时，

过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）

          ∵,∴,∴

          ∴， 又∵

          在Rt△中，

          即，解得．…………………………………………………1分

②存在﹒理由如下：

          ∵，∴,，

将△绕点顺时针方向旋转90°，得到

△（如图3）

          ∵⊥，∴点在直线上，

C点坐标为（，－1）

          过作∥，交于点Q,

则△∽△

          由，可得Q的坐标为（－，）………………………1分

根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．……1分

24.( 绍兴市)如图,设抛物线C1:, C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.

   （1）求的值及点B的坐标；  

（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,

在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的

直线为,且与x轴交于点N.

① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为

(1, 2)，求点N的横坐标；

② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横

坐标的取值范围.

解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1.  

∴ 抛物线C1的解析式为,

     设B(－2,b)，  ∴  b＝－4,  ∴  B(－2,－4) .             

（2）①如图1，

∵  M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. 

过点G作GE⊥DH,垂足为E,

由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，

∴  ME＝4.                         

设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,

由△MEG∽△MHN,得  ,

∴ ,    ∴ ,

∴ 点N的横坐标为．         

② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，

直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．

过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,

设Ｎ（x，0），

∵  A (2, 4),    ∴  G (, 2),

∴  NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.

∵ △NGQ∽△NMF，

∴ ,

∴ ,

∴ .           

当点D移到与点B重合时,如图3，

直线与DG交于点D,即点B, 

此时点N的横坐标最小.

   ∵  B(－2, －4),    ∴  H(－2, 0), D(－2, －4),

设N（x，0）， 

∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，

∴ ,    ∴ .                         

∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.      

24. (丽水市卷)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；

(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

①　当，，时，A，B两点是否都

在这条抛物线上？并说明理由；

②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不

可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；

若不存在，请说明理由．

解：

． ……1分

由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分

点A的坐标为(，)，

∵　A，B两点关于原点对称，

∴　点B的坐标为(，)．

将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；

将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．

∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，

点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分

(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)

②　存在．m的值是1或-1． 　……2分

(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)

20.（益阳市）如图9，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为A（－2，0），B（6，0），C（0，3）.

(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

(2)过Ｃ点作CD平行于轴交抛物线于点D，写出D点的坐标，并求AD、BC的交点E的坐标；

(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC、ＰD，判断四边形CEDP的形状，并说明理由.

解：⑴  由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，　　　　　　　　　

　解得

∴抛物线的解析式为　　　……………………………4分

⑵  的坐标为                      ……………………………5分

直线的解析式为

直线的解析式为

　由

　求得交点的坐标为　　　　　　　   ……………………………8分

⑶　连结交于，的坐标为

又∵，

　　∴，且

　　　　∴四边形是菱形　　　　　　　　　　……………………………12分

26．(丹东市)如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；

（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式； 

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

    （4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC．  1分

∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，

∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）   3分

（写错一个点的坐标扣1分）

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，

∵抛物线过点A（0，4）， 

∴．则抛物线关系式为．   4分

将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得

5分 

解得 6分

所求抛物线关系式为：． 7分

（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．  8分

     ∴    

                 OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

                 

                   （ 0＜＜4）  10分

∵． ∴当时，S的取最小值．

又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．  12分

（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG． 14分

25.（威海市12分）  

（1）探究新知：

①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．

求证：△ABM与△ABN的面积相等．  

②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．   

（2）结论应用：    

如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 

﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚     

解：﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． 

∵ AD∥BC，AD＝BC， 

∴ 四边形ABCD为平行四边形．   

∴ AB∥CD．   

∴ ME= NF．    

∵S△ABM＝，S△ABN＝， 

∴ S△ABM＝ S△ABN．   ……………………………………………………………………1分

②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．

则∠DHA=∠EKB=90°． 

∵ AD∥BE， 

∴ ∠DAH=∠EBK．  

∵ AD＝BE，  

∴ △DAH≌△EBK．  

∴ DH=EK．  ……………………………2分 

∵ CD∥AB∥EF，    

∴S△ABM＝，S△ABG＝，  

∴  S△ABM＝ S△ABG.  …………………………………………………………………3分

﹙2﹚答：存在．  …………………………………………………………………………4分

解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.

又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.

∴ 该抛物线的表达式为，即．  ………………………5分

∴ D点坐标为（0，3）．

设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.

∴ 直线AD的表达式为．   

过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为． 

∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2．  …………………………………………………………6分

设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为．    

过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．

由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． 

①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，

则PF=，EF＝． 

∴ EP＝EF－PF＝=．  

∴ ．  

解得，． ……………………………7分  

当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3．  

∴ E点坐标为（2，3）．   

同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合．  ………………………………8分

②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， 

则．  ……………………………………………9分

∴．解得，．   ………………………………10分

当时，E点的纵坐标为；    

当时，E点的纵坐标为．   

∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；．  ………………12分

﹙其他解法可酌情处理﹚    

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            

24．(荆门市本题满分12分)已知：如图一次函数y＝x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)

(1)求二次函数的解析式；

(2)求四边形BDEC的面积S；

(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

解：(1)将B(0，1)，D(1，0)的坐标代入y＝x2＋bx＋c得

得解析式y＝x2－x＋1……………………………………………………3分

(2)设C(x0，y0)，则有

解得∴C(4，3)．……………………………………………6分

由图可知：S＝S△ACE－S△ABD．又由对称轴为x＝可知E(2，0)．

∴S＝AE·y0－AD×OB＝×4×3－×3×1＝…………………………………8分

当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F．

∵Rt△BOP∽Rt△PFC，∴．即．

整理得a2－4a＋3＝0．解得a＝1或a＝3

∴所求的点P的坐标为(1，0)或(3，0)

综上所述：满足条件的点P共有二个………………………………………………………12分

(3)设符合条件的点P存在，令P(a，0)：

23．（济宁市10分）

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.

解：（1）设抛物线为.

∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.

∴抛物线为. ……………………………3分

 (2) 答：与⊙相交. …………………………………………………………………4分

证明：当时，，.

            ∴为（2，0），为（6，0）.∴.

设⊙与相切于点，连接，则.

∵，∴.

又∵，∴.∴∽.

∴.∴.∴.…………………………6分

∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.

∴抛物线的对称轴与⊙相交.  ……………………………………………7分

(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.

可求出的解析式为.…………………………………………8分

设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.

           ∴.

           ∵,

           ∴当时，的面积最大为.

           此时，点的坐标为（3，）.  …………………………………………10分

22．（中山市）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

24．（青岛市本小题满分12分）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

                                                           

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP = AQ.

        ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

        ∴∠DEF =∠EQC.

        ∴CE = CQ. 

        由题意知：CE = t，BP =2 t，           

            ∴CQ = t.

            ∴AQ = 8－t.

            在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .

            则AP = 10－2 t.

            ∴10－2 t = 8－t.

            解得：t = 2.

            答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.        4分

   （2）过P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

        ∴ .   ∴PM = .

        ∵BC = 6 cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

            ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －

= = .

∵，∴抛物线开口向上.

∴当t = 3时，y最小=.

答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分

   （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.

过P作，交AC于N，

∴.

∵，∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ = AQ－AN，

∴NQ = 8－t－() = ．

∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.

∵∠FQC = ∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴ .  ∴ .  

∵    ∴

解得：t = 1.

答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.     12分

22、（南充市）已知抛物线上有不同的两点E和F．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB的中点，∠PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D．设AD的长为m（m＞0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式．

（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

解：（1）抛物线的对称轴为．　……..（1分）
∵　抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同，
∴　点E和点F关于抛物线对称轴对称，则　，且k≠－2．
∴　抛物线的解析式为．　　　　　　　　　　　　……..（2分）
（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），
∴　AB＝，AM＝BM＝．　　　　　　　　　　　　　　　　……..（3分）
在∠PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，∠MBC＝∠DAM＝∠PMQ＝45°，
在△BCM中，∠BMC＋∠BCM＋∠MBC＝180°，即∠BMC＋∠BCM＝135°，
在直线AB上，∠BMC＋∠PMQ＋∠AMD＝180°，即∠BMC＋∠AMD＝135°．
∴　∠BCM＝∠AMD．
故　△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……..（4分）
    ∴　，即　，．
    故n和m之间的函数关系式为（m＞0）．　　　　　　　　　　……..（5分）
（3）∵　F在上， 
　　 ∴　，

　　化简得，，∴　k1＝1，k2＝3．　　　　
　　即F1（－2，0）或F2（－4，－8）．　　　　　　　　　　　　　……..（6分）
　　①MF过M（2，2）和F1（－2，0），设MF为， 
　　则　　　解得，　∴　直线MF的解析式为．
　　直线MF与x轴交点为（－2，0），与y轴交点为（0，1）．
　　若MP过点F（－2，0），则n＝4－1＝3，m＝；
　　若MQ过点F（－2，0），则m＝4－（－2）＝6，n＝．　　　……..（7分）
　　②MF过M（2，2）和F1（－4，－8），设MF为， 
　　则　　解得，　∴　直线MF的解析式为．
　　直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）．
　　若MP过点F（－4，－8），则n＝4－（）＝，m＝；
　　若MQ过点F（－4，－8），则m＝4－＝，n＝．　　……..（8分）
　故当　　或时，∠PMQ的边过点F．

24. (（衢州卷）本题12分)

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；

(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

． ……1分

由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分

点A的坐标为(，)，

∵　A，B两点关于原点对称，

∴　点B的坐标为(，)．

将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；

将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．

∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，

解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　． ……1分

设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分

解得　，(舍去)．

∴　点B的横坐标是． ……2分

(2)　①　当，，时，得　　……(＊)

． ……1分

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，

点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分

(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)

②　存在．m的值是1或-1． 　……2分

(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)

24.（莱芜市本题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；

（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

解：（1）∵抛物线经过点，，．

∴， 解得.

∴抛物线的解析式为：.           …………………………3分

（2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．

∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．                    …………………………4分

连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．

在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=．

∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°．                        …………………………6分

∴劣弧EF的长为：．                    …………………………7分

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b.  ∵直线AC经过点.

∴，解得.∴直线AC的解析式为：.  ………8分

设点，PG交直线AC于N，

则点N坐标为.∵.

∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.

即=.

解得：m1=－3， m2=2（舍去）.

当m=－3时，=.

∴此时点P的坐标为.                         …………………………10分

②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1， PG=3GN.

即=.

解得：，（舍去）.当时，=.

∴此时点P的坐标为.

综上所述，当点P坐标为或时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．                                  …………………12分

24. （舟山卷 本题12分)△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．

(1)　当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；

(2)　如果抛物线(a≠0)的对称轴经过点C，请你探究：

①　当，，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

②　设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)　 ∵　点O是AB的中点，　∴　． ……1分

设点B的横坐标是x(x>0)，则， ……1分

解得　，(舍去)．

∴　点B的横坐标是． ……2分

(2)　①　当，，时，得　　……(＊)

． ……1分

以下分两种情况讨论．

情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，

． ……1分

由此，可求得点C的坐标为(，)， ……1分

点A的坐标为(，)，

∵　A，B两点关于原点对称，

∴　点B的坐标为(，)．

将点A的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；

将点B的横坐标代入(＊)式右边，计算得，即等于点B的纵坐标．

∴　在这种情况下，A，B两点都在抛物线上． 　……2分

情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，

点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)．

经计算，A，B两点都不在这条抛物线上． 　 　……1分

(情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上．所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)

②　存在．m的值是1或-1． 　……2分

(，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1．当m=±1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上．因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)

25．(2010．十堰)（本小题满分10分）已知关于x的方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0

（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根.

（2）若关于x的二次函数y= mx2-(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式.

（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围.

解：（1）分两种情况讨论：

①当m=0 时，方程为x－2=0，∴x=2 方程有实数根

②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式

△=[－（3m－1）]2－4m（2m－2）=m2+2m+1=（m+1）2≥0

不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根

综合①②，可知m取任何实数，方程mx2-(3m－1)x+2m－2=0恒有实数根.

（2）设x1，x2为抛物线y= mx2-(3m－1)x+2m－2与x轴交点的横坐标.

则有x1+x2=，x1·x2=

由| x1－x2|====，

由| x1－x2|=2得=2，∴=2或=－2

∴m=1或m=

∴所求抛物线的解析式为：y1=x2－2x或y2=x2+2x－3(8)

即y1= x（x－2）或y2=（x－2）（x－4）其图象如右图所示.

（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y1，y2组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围.

，当y1=y时，得x2－3x－b=0，△=9+4b=0，解得b=－4(9)；

同理，可得△=9－4（8+3b）=0，得b=－12(23).

观察函数图象可知当b<－4(9)或b>－12(23)时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.

由

当y1=y2时，有x=2或x=1

当x=1时，y=－1

所以过两抛物线交点（1，－1），（2，0）的直线y=x－2，

综上所述可知：当b<－4(9)或b>－12(23)或b=－2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点.