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你好，欢迎来到我的《数学通识50讲》。 我们上一讲讲到，整个几何学就是建立在五条一般性公理和五条几何学公理之上的，那些公理都是不证自明的，或者说无法证明的。 那么万一公理有错，会是什么情况呢？这时会得到两种情况，首先如果某一条自己设定的新公理和现有的公理相矛盾，那么相应的知识体系就建立不起来。 其次，如果那一条和现实世界并不相符的公理和其它的公理没有矛盾，那么就可以根据逻辑推出一个和之前不同的知识体系，这个体系也能自洽，但是可能和其它知识体系相矛盾。 讲回到几何的那几条公理，对于那五条一般性公理，大家都没有疑问，对于几何公理（公设）的前四条，大家也都没有疑问，但是对于第五条，也就是“过直线外的一个点，可以做一条，而且仅可以做一条该直线的平行线。至于平行线，就是平面上永不相交的两条线。”这时就有人犯嘀咕了，会不会经过直线外的一点，能够做出很多条平行线，或者干脆一条也做不出来呢？ 当然，我们根据直觉会觉得，欧几里得的想法是对的，因为在现实生活中，我们对任意直线和线外的一点，不可能做不出一条平行线，更不可能做出两条来。但是，由于这个公理本身是无法验证的，又不算很直观，因此对它作其它的假设或许也有道理。 在数学史上，有两个人就把几何学中的第五公理改了，然后依照逻辑，各自创立出一整套能够自洽的新的几何体系。 第一个人叫做罗巴切夫斯基，他假定过直线外一个点，能够做该直线的任意多个平行线。如果我们承认他所作出的这个假设，并且应用由此而来的全部结论，那么空间就由我们平时熟悉的方方正正的形状，变成了马鞍形，也称为双曲面。 在这样的空间里，三角形的三个角加起来就小于180度了。此外，很多欧几里得几何的结论在这个新的体系中都要修改，但需要指出的是，这个新的几何学体系本身是自洽的。今天它就以发明者罗巴切夫斯基的名字命名了，当然中国人为了简单起见，就称呼它为罗氏几何，类似的，欧几里得几何也被称为欧氏几何。 第二个改变第五公理的人是著名数学家黎曼，他假定经过直线外任意一个点，一条平行线也做不出来，这样构建的几何学被称为黎曼几何。在黎曼几何中，空间被扭曲成椭圆球的形状。这个空间每一个切面是椭圆，因此它也被称为椭球空间。如果你在上面画一个三角形，它的三个角加起来大于180度。 这个结论你其实在地球上很容易证实：你从北极出发往正南走100米，再往正西走100米，最后往正北走100米，你又回到了出发的原点，也就是北极点。你走过的这个三角形，三个角之和为270度。  此外，黎曼几何本身也是一个自洽的知识体系。黎曼几何和罗氏几何由于得出的很多结论都不符合欧氏几何，因此它们被统称为非欧几何。 为什么数学家们要“吃饱了撑的”，把我们生活的三维扭曲成各种形状，这种虚构出来的几何学体系有用么？要知道，欧几里得所确定的公理已经经过了两千多年的实践检验。应该讲，罗巴切夫斯基和黎曼在构建各自的几何学体系时，也不知道它们有多少实际用途。 不过，黎曼作为数学家，他希望一些涉及到曲面的数学问题在解决的时候简单一些。比如在一个三维的欧几里得空间，一个球面的方程是x²+y²+z²=25，而在黎曼空间中，它就是R=5这么简单。虽然它们在数学上是等价的，但是形式上差异很大。黎曼就希望在解决球面和其它曲面的问题时，最好有形式上比较简单一致的表述方式。 但是，在黎曼几何诞生之后的半个多世纪里，它也没有找到太多实际的用途，真正让它为世人知晓的并非其他数学家，而是著名的物理学家爱因斯坦。在爱因斯坦著名的广义相对论中，所采用的数学工具就是黎曼几何。  根据爱因斯坦的理论，一个质量大的物体（比如恒星），会使得周围的时空弯曲，牛顿所说的万有引力被描述为弯曲时空的一种几何属性，即它的曲率。爱因斯坦用一组方程，把时空的曲率，其中的物质，能量和动量联系在一起。 之所以采用黎曼几何这个工具，而不是欧氏几何来描述广义相对论，是因为时空和物质的分布是互相影响的，并不像牛顿力学里面所认为的时空是固定的。特别是在大质量星球的附近，空间被它的引力场弯曲了：  在这样扭曲的空间里，光线走的其实是曲线，而不是直线。1918年，爱丁顿爵士利用日食观察星光曲线的轨迹，证实了爱因斯坦的理论。这件事也让黎曼几何成为了理论物理学家们很常用的工具。 比如，在过去30年中，物理学家对超弦的理论极度着迷，而黎曼几何（以及由它派生出的共形几何），则是这些理论的数学基础。此外黎曼几何在计算机图形学和三维地图绘制等领域有广泛的应用。特别是在计算机图形学中，今天计算机动画的生成离不开它。 既然黎曼几何在很多应用中证实了它的“正确性”，而它的很多结论和欧几里得几何又不相同（比如三角形三个角之和大于180度），是否说明欧几里得几何是错的呢？如果不是，又该怎样理解这样两个不同的几何体系的共存呢？这个问题到了19世纪末已经被数学家们想清楚了。 如果你重新看一遍欧几里得提出的那些公理，就会发现一个问题，他其实根本没有定义什么叫做平面。虽然我们在中学时把所学的欧几里得几何称为了平面几何，但是我们脑子里所想的平面其实是没有定义的，我不知道老师是出于什么原因，把这个问题一带而过了，可能是觉得十几岁的孩子不容易接受比较抽象的概念吧，干脆省略了。 因此，学习了今天的内容后，我觉得大家应该有这样一种理性眼光，就是我们习以为常的事情，在没有明确说明之前，大家的认同其实会有误解。比如我们常常说深颜色，并不觉得这个概念不清晰，但是不同人理解的深颜色可能不同。 事实上，对平面的认识也是如此。到了19世纪后，数学家们发现，如果对平面作如下明确的定义：满足平行公理的面被称为平面，那么欧氏几何的基础就更扎实了。 罗巴切夫斯基等人一开始的工作，并不是想推翻平行公理，而是想看看它能否从其它四条几何公理中推导出来，结果这件事没做成，他们反而创造出了在双曲面上的几何，而黎曼则相反，创造出了椭球上的几何。 需要指出的是，虽然非欧几何和欧氏几何在形式上很不相同，但却是殊途同归。同一个命题，可以在这三种系统的框架内相互转换，因此如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。 好了，现在有了三个等价的几何学“工具”，在解决具体问题时选用一个方便的工具，就成为了活学活用数学的技巧了。对于工具的差异，我们可以把它们理解成是一字改锥和十字改锥就可以了。并不是说使用十字改锥的工作一字改锥做不了，而是非常麻烦，而且做起来要非常精细，搞不好就会出错。 当然，如果必须用一字改锥的地方，你用十字改锥，确实多有不便，不过你依然可以拿刀子把一字螺丝修成十字的，然后让十字改锥发挥作用，当然这种做法是多此一举。而爱因斯坦的过人之处在于他善于找到最方便的数学工具。 数学的美妙之处在于它的逻辑自洽性和系统之间的和谐性。黎曼等人修改了一条平行公理，并没有破坏几何学大厦，而只是演绎出一个新的工具。不过，如果你胡乱修改其它的一条公理，比如你把垂直公理给改了，几何学大厦就崩塌了。 事实上，罗巴切夫斯基和黎曼等人在考虑替换几何学公理时，不是随机乱找的，而是发现平行公理的描述比其他的都长很多，非常不直观，而且在整个几何学的公理和定理体系中，它很晚才被用到，也就是说，很多结论的获得并不需要这条公理，使用前面九条就够了。 数学家们曾经怀疑它是否真的是一条独立的公理，或许它只是其它公理的推论而已呢？直到后来意大利数学家贝尔特拉米证明了平行公理和前四条几何公理一样是独立的。 最后，和你分享一下这段历史对我在认知上的两点启发。 首先，今天我们介绍的三种几何系统，其实它们90%的公理都是相同的，最后差出了一条看似最无关紧要的公理，但是，由此之后，发展出来的知识体系就完全不同了。 我们时常在学习别人的经验时，觉得似乎自己学到了，但是做出来的东西就是不一样。大部分时候，这种差异来自于细节，可能就是10%。但是，我们常常会满足于90%的一致性，忽略了那一点差异，这就导致了结果完全不同。 不过，话又说回来，当我们基于新的假设，创造出一个和别人不同的东西时，除非我们的假设很荒唐，否则那些与众不同的东西或许在特定场合有用。我非常喜欢李白的一句话，“天生我材必有用”，不必刻意强求和别人的一致性。作为人，基本的设定没问题，活出自己的精彩是对社会的贡献。 其次，数学是工具，而这种工具可能有很多种，它们彼此甚至是等价的。在不同的应用场景中，有的工具好用，有的费劲，学数学关键是要学会在什么情况下，知道使用什么工具。 下一讲，我们讲讲几何学在另一个维度的发展。我们下一讲再见。——吴军《数学通识五十讲》 |
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