高中数学知识点复习资料归纳整理：不等式与不等关系

不等式与不等关系

【考纲要求】

1.了解不等关系、不等式（组）的实际背景；

2.理解并掌握不等式的性质，理解不等关系；

3.能用不等式的基本性质解决某些数学问题.

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、符号法则与比较大小

1. 实数的符号

任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立。

2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

   ①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：；

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：；

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：，.

3、比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、

①；

②；

③。

   对于任意实数、,,,三种关系有且只有一种成立。

要点诠释：

这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 
要点二、不等式的基本性质

１．不等式的基本性质

    （1）   

（2）

    （3）

         

    （4）

２．不等式的运算性质

    （１）加法法则：   

（２）减法法则：

    （３）乘法法则：   

（４）除法法则：

    （５）乘方法则：

    （６）开方法则：

要点诠释：

不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。

要点三、比较大小的方法

1、作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小。

2、作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小。

3、中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.

4、利用函数的单调性比较大小：若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小.

【典型例题】

类型一：比较代数式（值）的大小

例1．已知：, 比较和的大小.

【解析】

 

∵，，

∴

∴.

【总结升华】作差比较法基本步骤：作差，变形，判断差的符号，结论，其中判断差的符号为目的，变形是关键，常用变形技巧有因式分解，配方，拆、拼项等方法.

举一反三：

【高清课堂：不等式与不等关系394833 典型例题一】

【变式1】若，则下列不等式中，不能成立的是(    )

A.          B.          C.          D. 

【解析】取特殊值，代入验证即可

【答案】B

【变式2】已知,试比较和的大小.

【解析】∵，

又∵即

∴当时，；

当时，.

【变式3】且，比较与的大小.

【解析】作差：

(1) 当， 即时，，此时.

(2) 当，即

(3) 当，, 此时，其中时取等号.

(4) 当 即时，， 此时

例2．已知：、, 且,比较的大小.

【解析】∵、 ，∴，

作商：     （*）

(1)若a>b>0, 则，a-b>0, , 此时成立；

(2)若b>a>0, 则, a-b<0，, 此时成立。

综上，总成立。

【总结升华】1、作商比较法的基本步骤是:

判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。

2、正数的幂的乘积形式的大小比较一般用作商比较法.

举一反三：

【变式】已知为互不相等的正数，求证：

【解析】为不等正数，不失一般性，设

这时，，则有：

  

由指数函数的性质可知：

，即.

类型二：不等式性质的应用

例3．如果 （   ）

A．      B.      C.     D. 

【解析】由题可知：

又

不一定成立，因为当b=0时候，取等号，故选C.

【总结升华】判别不等式成立与否，应紧扣不等式性质，当出现字母代数式最常用赋值法.

举一反三：

【变式1】对于实数，判断以下命题的真假.

（1）若, 则；             （2）若，则；

（3）若, 则；    （4）若, 则;

(5) 若，则 ；               （6）若且, 则．

(7) 若，则；             (8)若，则

【解析】（１）因为的符号不定，所以无法判定和的大小，故原命题为假命题.

（２）因为, 所以, 从而，故原命题为真命题.

（３）因为，所以 ①；

又，所以  ②

      综合①②得，故原命题为真命题.

（４）两个负实数，绝对值大的反而小．故原命题为真命题．

（5）因为当时，不成立，故原命题为假命题..

（6）因为，所以

     又因，所以．故原命题为真命题．

（7）因为的函数在上单调递增，故原命题为真命题．

（8）因为，所以，故原命题为真命题．

【高清课堂：不等式与不等关系394833 典型例题四】

【变式2】已知且 ,求的取值范围.

【解析】设

解得，

所以

由得

由得

所以

即

【变式3】已知，那么下列不等式成立的是（    ）

A.        B.       C.   D. 

【解析】D；特殊值法：令，

类型三：不等关系在实际问题中的应用

例4．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？ 
　【解析】设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)，

则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间

平均速度， 
　     　∵ ，

∴  
　      因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度。 
　　举一反三：

【变式】甲乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度为a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若，试判断哪辆车先到达B地.

解析：设从A到B的路程为S，甲车用的时间为，乙车用的时间为，

则

所以，甲车先到达B地。