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高等数学:利用泰勒公式求极限,函数需要展开到第几阶?

原创
2019-12-06  宝刀君

大家好,我是宝刀君,今天我们来学习下考研数学里的一个重要的知识点:利用泰勒公式求极限

好多考研党在利用泰勒公式求极限时,经常搞不清楚的一个问题是:这个泰勒公式,我到底是要展开到第几阶啊???

为了解决这个问题,宝刀君先从什么是泰勒公式说起。

1、泰勒公式的定义

泰勒公式本质上是一种函数的近似,将一个函数在某一点展开,展开项越多,越精确。

根据余项的不同,又可以分为带皮亚诺余项的泰勒公式,和带拉格朗日余项的泰勒公式:

需要注意的是带皮亚诺余项的泰勒公式,由于它是定义在x0这一点的,所以它也被称为是局部泰勒公式。而带拉格朗日余项的泰勒公式,由于它是定义在一段区间上的,所以也被称为是整体泰勒公式

余项分2种,而x0的选取就很多了,但我们只记住了一种,那就是x0取特殊值0时,这时的泰勒公式有了个新的名字:麦克劳林公式。

这三个名称之间的关系是

考研里面,有10个麦克劳林公式,是需要大家重点掌握的。

哪10个公式呢?

不用再苦苦寻找了,宝刀君已经帮你整理好了,就是它们啦:

需要说明的是,这10个麦克劳林公式里的x,要进行广义化的理解。

也就是说,当包含x的多项式时,只要它是趋于0的,那么就可以将这个多项式看做“X”,也就是大家经常嘴边常说的:狗-sin狗=1/6狗的立方,三个狗要一模一样。

2、利用泰勒公式求极限,函数需要展开到第几阶?

麦克劳林公式大家都会背,但问题是:你在真正求极限时,我这时要展开到第几阶啊?有木有什么准则可以指导下?

难不成是“纸有多长,就展多长?”

这个当然是开玩笑啦。

我之前在该问题:利用泰勒公式求极限时,如何确定泰勒公式展开到第几阶?里讲过2个准则:分式上下同阶原则、加减幂次最低原则。(这两个准则的具体含义,可以点击如下的卡片前去阅读)讲解过程中,并引用了典故“韩信点兵,多多益善”这个故事,通过这个故事告诉大家:“泰勒展开,多多益善”。

利用泰勒公式求极限时,如何确定泰勒公式展开到第几阶?www.zhihu.com图标

好多学生看了该问题的回答后,还是不太明白这个阶数如何定?

下面宝刀君就再讲2个例题,告诉大家这个“阶数”到底该怎么定?

阶数怎么定?--例题1阶数怎么定?--例题2

先看第1个例题:

题目拿到手,是让你求极限,好多种函数混合在一起,直觉上是用泰勒公式做,但是将他们展开到第几阶啊?

看分子,好像看不出什么门道来,那就看分母。

分母是2项相乘,x趋于0时,sin^2x等价无穷小于x^2。而括号里的,可以看做是A-B型,那么这时候思路就有了:我先把分母中括号里的A-B型的阶数确定了,然后再乘以外面的x^2,这时分母整体的阶数就确定了,当分母的阶数确定后,根据分式上下同阶原则,分子的阶数也就确定了。

于是,这道题的正确解题过程就出来了:

也就是说,当确定这道题的阶数时,我们是通过:

先确定分母的阶数,然后才知道分子究竟应该展开到多少阶的。

再看第2个例题:

和第一个例题类似,观察分子不确定到底展开到多少阶,那么就观察分母吧。

分母里,x和cosx相乘后再和sinx做减法运算,那么整体是A-B型,只需要展开到(A-B)的第一个不相等的幂次就可以了(或者说是x^k前面的系数不相等)。运算可知,前两项相乘后,在3次方就和sinx的三次方系数不相等,所以分母的阶数为3阶,因此分子我也要展开到3阶。

所以,第2道例题的正确解法是:

3.总结

宝刀君在知友提问的问题:“利用泰勒公式求极限时,如何确定泰勒公式展开到第几阶?”中给出了两个准则:分式上下同阶原则、加减幂次最低原则,在那个问题的回答中,给出的2道例题及评论区回答中解释了“要注意常数项对展开项的影响”。

而今天给的这2道例题,则进一步解释了“阶数怎么确定”,对于加减型的求极限,大家肯定都会确定,难就难在分式,尤其是遇到结构比较复杂的分式时,你要观察谁的阶数(分子or分母)更容易确定? 观察的过程中,要注意“整体思想”,如第二题的分母整体可看做是A-B型。

读懂了宝刀君今天呕心沥血写的以上内容,那么下面这道题,你作出的答案就应该是a=2,b=1,而不应该是错误答案:a=2,b=-1.

PS:算出正确答案的同学,麻烦你给本文点个赞,同时在评论区留下你的解答过程,让宝刀君看看有多少同学是真正读懂了本文~

一定要亲自动手算哦~

文末,给个学习建议:宝刀君在讲解该知识点时附的这4道例题,建议大家抄写到笔记本上,综合对比,前2个例题着重观察常数项的影响,后2个例题着重观察阶数怎么确定。到强化阶段复习时,该笔记还可以继续看,到那时,相信大家再做类似的题就是a piece of cake了,加油!

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