【原】高等数学：利用泰勒公式求极限，函数需要展开到第几阶？

大家好，我是宝刀君，今天我们来学习下考研数学里的一个重要的知识点：利用泰勒公式求极限。

好多考研党在利用泰勒公式求极限时，经常搞不清楚的一个问题是：这个泰勒公式，我到底是要展开到第几阶啊？？？

为了解决这个问题，宝刀君先从什么是泰勒公式说起。

1、泰勒公式的定义

泰勒公式本质上是一种函数的近似，将一个函数在某一点展开，展开项越多，越精确。

根据余项的不同，又可以分为带皮亚诺余项的泰勒公式，和带拉格朗日余项的泰勒公式：

需要注意的是：带皮亚诺余项的泰勒公式，由于它是定义在x0这一点的，所以它也被称为是局部泰勒公式。而带拉格朗日余项的泰勒公式，由于它是定义在一段区间上的，所以也被称为是整体泰勒公式。

余项分2种，而x0的选取就很多了，但我们只记住了一种，那就是x0取特殊值0时，这时的泰勒公式有了个新的名字：麦克劳林公式。

这三个名称之间的关系是：

考研里面，有10个麦克劳林公式，是需要大家重点掌握的。

哪10个公式呢？

不用再苦苦寻找了，宝刀君已经帮你整理好了，就是它们啦：

需要说明的是，这10个麦克劳林公式里的x，要进行广义化的理解。

也就是说，当包含x的多项式时，只要它是趋于0的，那么就可以将这个多项式看做“X”，也就是大家经常嘴边常说的：狗-sin狗=1/6狗的立方，三个狗要一模一样。

2、利用泰勒公式求极限，函数需要展开到第几阶？

麦克劳林公式大家都会背，但问题是：你在真正求极限时，我这时要展开到第几阶啊？有木有什么准则可以指导下？

难不成是“纸有多长，就展多长？”

这个当然是开玩笑啦。

我之前在该问题：利用泰勒公式求极限时，如何确定泰勒公式展开到第几阶？里讲过2个准则：分式上下同阶原则、加减幂次最低原则。（这两个准则的具体含义，可以点击如下的卡片前去阅读）讲解过程中，并引用了典故“韩信点兵，多多益善”这个故事，通过这个故事告诉大家：“泰勒展开，多多益善”。

利用泰勒公式求极限时，如何确定泰勒公式展开到第几阶？www.zhihu.com

好多学生看了该问题的回答后，还是不太明白这个阶数如何定？

下面宝刀君就再讲2个例题，告诉大家这个“阶数”到底该怎么定？

阶数怎么定？--例题1阶数怎么定？--例题2

先看第1个例题：

题目拿到手，是让你求极限，好多种函数混合在一起，直觉上是用泰勒公式做，但是将他们展开到第几阶啊？

看分子，好像看不出什么门道来，那就看分母。

分母是2项相乘，x趋于0时，sin^2x等价无穷小于x^2。而括号里的，可以看做是A-B型，那么这时候思路就有了：我先把分母中括号里的A-B型的阶数确定了，然后再乘以外面的x^2，这时分母整体的阶数就确定了，当分母的阶数确定后，根据分式上下同阶原则，分子的阶数也就确定了。

于是，这道题的正确解题过程就出来了：

也就是说，当确定这道题的阶数时，我们是通过：

先确定分母的阶数，然后才知道分子究竟应该展开到多少阶的。

再看第2个例题：

和第一个例题类似，观察分子不确定到底展开到多少阶，那么就观察分母吧。

分母里，x和cosx相乘后再和sinx做减法运算，那么整体是A-B型，只需要展开到(A-B)的第一个不相等的幂次就可以了（或者说是x^k前面的系数不相等）。运算可知，前两项相乘后，在3次方就和sinx的三次方系数不相等，所以分母的阶数为3阶，因此分子我也要展开到3阶。

所以，第2道例题的正确解法是：

3.总结

宝刀君在知友提问的问题：“利用泰勒公式求极限时，如何确定泰勒公式展开到第几阶？”中给出了两个准则：分式上下同阶原则、加减幂次最低原则，在那个问题的回答中，给出的2道例题及评论区回答中解释了“要注意常数项对展开项的影响”。

而今天给的这2道例题，则进一步解释了“阶数怎么确定”，对于加减型的求极限，大家肯定都会确定，难就难在分式，尤其是遇到结构比较复杂的分式时，你要观察谁的阶数（分子or分母）更容易确定？ 观察的过程中，要注意“整体思想”，如第二题的分母整体可看做是A-B型。

读懂了宝刀君今天呕心沥血写的以上内容，那么下面这道题，你作出的答案就应该是a=2,b=1,而不应该是错误答案：a=2,b=-1.

PS：算出正确答案的同学，麻烦你给本文点个赞，同时在评论区留下你的解答过程，让宝刀君看看有多少同学是真正读懂了本文~

一定要亲自动手算哦~

文末，给个学习建议：宝刀君在讲解该知识点时附的这4道例题，建议大家抄写到笔记本上，综合对比，前2个例题着重观察常数项的影响，后2个例题着重观察阶数怎么确定。到强化阶段复习时，该笔记还可以继续看，到那时，相信大家再做类似的题就是a piece of cake了，加油！