函数的头号杀器

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依稀记得大学时的高等数学课，考试前的最后一刻，突击记忆了“恐怖”的泰勒公式，只是怕记得早忘得快。俗话说：年少不知泰勒好，错把其他当成宝。直到若干年后才真正懂得，它才是函数的终极杀器。

同济第五版138页

布鲁克·泰勒（英语：Brook Taylor，1685年8月18日－1731年11月30日）出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，1709年在伦敦获法学硕士学位，并于两年后获法学博士学位。（对，没看错，是法学！）。

泰勒本尊

他也学习数学。1708年他获得了“振荡中心”问题的一个解决方法，但是这个解法直到1714年才被发表。因此也直接导致了约翰·伯努利与他争谁首先得到解法的问题。1715年他发表的《直接与间接的增量方法》为高等数学添加了一个新的分支，今天这个方法被称为有限差分方法。在该著作中他提出了著名的“泰勒公式”。但直到他逝世41年后，拉格朗日才认识到这个公式的重要性，并称之为“导数计算的基础”。

《直接与间接的增量方法》第一版

1712年泰勒被选入皇家学会，同年他加入判决牛顿和莱布尼茨就微积分发明权的案子的委员会（著名的“牛莱之争”，我们以后再表），两年后出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。最后在1731年于伦敦逝世。

拉格朗日为什么会称“泰勒公式”为“导数计算的基础”呢？泰勒公式又究竟有什么意义呢？

其实说简单点，就是一些函数太虐心，以我们人类的智商搞不定，于是，我们就用得心应手的简单多项式函数来近似表达。这就完美体现了微积分中增量逼近法精髓内涵，在近似计算上让我们不得不交口称赞：

它的推导大家有兴趣以后我们可以再聊聊，今天，我们就看一看，泰勒公式是如何降维打击，如何秒杀函数问题的。

先来看看泰勒公式和他的变形式麦克劳林公式：

泰勒公式

当时，就是变形后的麦克劳林公式。

以2022年全国数学一卷单选第7题来说：

标准答案中构造函数略显唐突，因为在实战中，根本没有那么多的时间，那现在我们记住两个泰勒公式的二级结论：

将x分别代入0.1和-0.1（算到二阶就够用了），分别得到a=0.1105，c=0.105，b=0.111,1分钟，直接出答案：C.c＜a＜b。

泰勒公式解决高等数学中的极限问题更是如探囊取物。

泰勒公式的妙用还远不止于此，泰勒公式的发现，就像三体文明向地球扔出了一张二向箔，真正打开了微积分中增量逼近的大门。