直观想象在2018年高考理科数学试卷中的体现

《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称《标准》)把“立德树人”作为教育的根本任务，在教育本质上回答了“培养什么样的人”的问题。《标准》中把数学学科核心素养列为课程目标，提出六大核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模、逻辑推理、数学运算、数据分析[1]，有效地从数学学科本质上回答了“培养什么样的中学生”的问题。

直观想象不但是“四能”(发现、提出、分析和解决问题的能力)的基础，它也是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础，也是数学抽象和数学建模的基础。本文拟通过对直观想象的内涵、表现和水平的论述，对2018年全国高考理科数学试卷中直观想象素养水平的体现进行分析研究，目的是了解命题人意图，掌握直观想象核心素养知识点分布，进而指导我们的教育教学。

我国已经进入人口老龄化社会，按照目前的老龄化现状及发展趋势推算，只有不到20年的时间，我国将全面进入超老龄社会，老龄化人口中失能老人、高龄老人、空巢老人将会占据更大比重。目前为止，“三多”问题已经较为普遍，大多数老人生活自理能力差，日常生活通常需要他人照料。综上所述，当前我国老年人生活照料服务不稳定的问题表现在：其一，老年人生活照料服务来源渠道单一；其二，老年人生活照料服务提供者的现行压力大；其三，老年人生活照料服务需求大。

一、直观想象的内涵

直观，是指通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识；想象，是一种特殊的思维形式，是人在头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程。数学想象是对数学形象的特征推理，它是数学表象与数学直感在主体头脑中的有机联合和组合，是合情推理的基本成分。想象，具有创造和创新性，是思维的翅膀。

直观与想象是不同的思维方法或形式，想象可以是建立在直观的基础上，是直观的延伸，直观想象使二者合二为一，是一个有机的思维整体，也是一个连续的思维过程[2]。直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

抢断是极具攻击性的防守技术，它是经验、意识、反应和防守能力的综合体现，也是篮球运动强对抗特点的表现形式之一。奥运会各单项指标排序显示，抢断球总体上以后卫队员见长，许多优秀后卫都有很强的抢断能力。男篮小组赛上，与中国队同组的美国队最善于抢断，小组5场比赛有72次抢断球，比第2名的塞尔维亚多出25次。中国队抢断球次数与世界水准的差距具有显著性意义，属于技术能力特别弱的指标。中国男篮后卫在抢断球欲望和能力方面与对手无法相提并论，防守中对自身的能力定位在于防突防投，在身体接触与技术应用上不敢防中带攻，伺机抢断。为此，造成了中国男篮在抢断球上与对手差距悬殊。

二、直观想象素养的水平划分

数学学科素养的产生源于对数学知识的学习，它表现为知识理解、知识迁移、知识创新等三种形态[3]，据此，核心素养分为三种不同的水平。直观想象素养水平的描述是通过情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个方面展开的，分为三个水平：水平一是高中毕业应当达到的要求，也是高中毕业的数学学业水平考试的命题依据；水平二是高考的要求，也是数学高考的命题依据；水平三是基于必修、选择性必修和选修课程的某些内容对数学学科核心素养的达成提出的要求，可以作为大学自主招生的参考。其中，直观想象水平二(高考)的要求为：一是能够在关联情境中，想象并构建相应的几何图形，并借助图形提出数学问题，发现图形与图形、图形与数量的关系，探索图形的运动规律；二是能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法，能够借助图形性质探索数学规律，解决实际问题或数学问题；三是能够通过直观想象提出数学问题，能够用图形探索解决问题的思路，能够形成数形结合的思想，体会几何直观的作用和意义；四是在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题[4]。

三、2018年全国高考理科数学试卷部分试题分析

2018年全国高考理科数学试卷按照“保持整体稳定，推进改革创新，立足基础考查，突出能力立意”的命题指导思想，题目以常规为主，问题情境设置合理自然，有利于学生思考。以知识为载体，注重数学核心素养的考查。淡化解题技巧，强调数学本质，考查数学思想方法的活学活用，体现“四基”(基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验)。增设数学的应用性，体现“四能”。考查学生的交流与表达能力，能用数学的语言正确表述问题，体现“三会”(会用数学的眼光观察世界；会用数学的语言表达世界；会用数学的思维思考世界)[5]。试题越来越多地考查直观想象素养，先看后证，由直观到抽象，数形结合，考查学生用直观想象思考和解决问题的能力。

1.利用图形描述理解数学问题

借助见到的或想象到的几何图形产生对数量关系的直观感知，或称“几何直观”，是培养直观想象的起点和基础。培养学生直观感知，学会“看”，养成“学函数、用图像”来解决函数问题的习惯；使用图像，架起方程(不等式)通往函数的桥梁；构建函数模型使抽象函数不抽象，从“形”的角度刻画函数的概念和性质。

(1)(原题号3)函数的图像大致为________。

本题属于数学情境问题，目的是建立直观图形与函数之间的联系，可以考查学生掌握函数的性质(奇偶性、单调性)及导数的应用。通过直观感知，形成函数是奇函数与直观模型相互对应的关系，运用计算x=1处的函数值确定感知程度，通过推理论证求导评价直观感知单调性是否严密。

2019年11月蓄水后，开挖半河床半河岸段(K0+0～K1+600，K4+200～K5)水面线以下部分，约150万m3，2019年11月～2020年8月，月平均开挖强度15万m3(开挖强度与填筑强度匹配，满足填筑要求)。

(2)(原题号10)若f(x)=cosx-sinx在[-a，a]是减函数，则a的最大值是________。

本题属于数学情境问题，目的是建立三角函数直观图形与函数之间的联系，可以考查学生掌握三角函数的性质(单调性)。通过推理，得到三角形函数再画出余弦型函数图像。通过直观感知，得到单调递减区间从而得到答案。

(3)(原题号11)已知f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=________。

A.-50 B.0 C.2 D.50

本题属于数学问题情境，通过直观感知，得到函数的对称轴为x=1，函数f(x)是定义域为(-∞，+∞)的奇函数，为此函数图像经过坐标原点，在直观想象和推理得到函数的周期为4，在一个周期内x=1，x=2，x=3，x=4所对应的函数值，计算出12个周期内函数值的和为0，最后结果为f(1)+f(2)的值。

(4)(原题号21)已知函数f(x)=ex-ax。

(Ⅰ)若a=1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；

现代财政制度框架下的预算项目支出标准定额探讨——基于成本效益分析的研究视角马海涛 李 超 肖 鹏9-34

发电机高压油顶起系统由高压油顶起油泵、逆止阀、过滤器、高压油管、管件、压力开关和压力表等部件组成，集成在2 250 mm×1 200 mm×1 800 mm的框内，布置在机坑外。常压油取自推力油槽内，高压油通过高压油泵加压后输送至推力轴瓦，每个高压油供油支管设置有一个单向阀，其系统原理见图1。

(Ⅱ)若f(x)在(0，+∞)只有一个零点，求a.

本题属于数学问题情境，首先通过直观感知函数y=ex和y=x的图像，得到解题思路，进而建立函数g(x)=ex-x，由函数单调性解决问题。其次分离变量，得到函数和由导数应用确定函数单调性，再由洛必达法则确定函数的极限，画出函数y=h(x)和的图像，由图像直观感知a的取值。

江苏常熟理工学院人文学院管勇教授和张幼良教授提交的论文《主体间性与传统文类史观的修正》站在文学史的高度，借鉴西方的文学理念，关注文类的两大主体：作为创作和接受主体的“人”与各种各样不同类型的文类主体“文”，通过对“人”与“人”、“人”与“文”、“文”与“文”之间的对话研究，形成对“文类代嬗观”和“文类等级观”这两种传统的文类史观的修正与补充，在科学的文类史观的基础上建立科学的文学史观，科学把握整个文学史。

2.利用数形结合解决数学问题

“数形结合”是直观想象最集中的体现，华罗庚精辟地概括了数形结合方法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合万般好，割舍分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！在解决解析几何的问题中，要养成画图的习惯，不仅仅从代数上做量的计算和分析，还要分析量的几何意义，不要把解析几何单纯看成代数的变形，忽视量的几何意义。“图”可以帮助思考，把抽象的问题变得直观具体，更加明了地理解概念，寻找解决问题的思路和捷径；“数”从逻辑上使“形”更加严密[6]。

(1)(原题号5)双曲线的离心率为则其渐近线方程为________。

本题属于数学情境问题，目的是建立直观图形双曲线与双曲线方程，还有渐近线之间的联系，可以考查学生掌握双曲线的几何性质(离心率、渐近线)，通过直观感知，培养学生体会双曲线的开口大小与渐近线的斜率数值的关系，推得渐近线斜率与离心率e的互化公式e2=1+k2，进而计算出k值。

歧义现象不仅出现于汉语中，韩国语、英语等众多语言中也存在。接下来本文将对中韩两种语言的词汇歧义现象进行对比。

(2)(原题号14)若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为________。

有周围神经 病变对象 SDNN、SDNANN、SDNN、PANN50、RMSSD、QTd与无病变的对象差异有统计学意义（P＜0.05）。见表1。有有周围神经病变56例对象存在心脏自主神经失调症状发生率42.9%（24/56），高于无周围神经病变对象4.2%（2/48），差异有统计学意义（P＜0.05）。

本题属于数学情境问题，通过三条直线围成的区域，经过目标函数图像(直线)的平移变化，直观想象感知直线的位置，得到最优解，并计算出目标函数的最大值。

(3)(原题号19)设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8。

(Ⅰ)求l的方程；

经济基础决定上层建筑，我国地域比较辽阔，东西部经济发展水平有着较大的差异，因此不同的区域对于电力资源的需求也有着加大的不同。例如我国东南沿海这些经济发展水平较高的地区对电能需求较大，电力前期投资也比较高，但因为输变电工程建设也比较密集，容易形成区域效应，受边际递减规律影响在后期中投入就会减少，由于工业用电较多电价较高收回成本的过程也比较快。输变电工程建设受自然地理环境影响较大，对于西部地区而言，尽管地域面积辽阔，然而人员居住较为分散，地广人稀，再加上地形环境比较复杂，输变电工程施工难度大大提升，因此该地区输变电工程架设成本较高且回笼资金困难，队国家财政支持的依赖程度非常高。

(Ⅱ)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。

本题属于数学情境问题，目的是通过几何直观将几何问题运用代数方法，即运用解析法解决问题。通过直观感知，过焦点F(1，0)的弦长是8，其中斜率确定，由斜长公式得到斜率k的方程，经过计算，得到k值；再通过感知经过两点与准线相切的圆可以确定，但不唯一，有两个圆，列出三个方程，解出圆心(a，b)和半径r，进而得到两个圆的方程。

3.利用空间想象解决数学问题

空间想象是指人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和构造创新的能力。高中数学空间想象能力主要指对物体的形状、结构、大小、位置关系的想象能力，主要包括：画图、识图、用图。通过给出直观图，想象实际图形(从下至上)，将立体图形转化为平面图形(从底面到侧面)，构建几何模型(比如长方体)解决问题，将几何图形(位置、角度和距离)问题转化空间向量的数量问题，再由向量的数量结果回答实际几何图形问题。

(1)(原题号9)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为________.

本题属于数学情境问题，借助长方体建立直观图形与异面直线所成角之间的联系。方法一是建立空间直角坐标系，直观感知空间向量和的夹角与异面直线AD1与DB1所成角之间的关系，运用计算向量夹角来解决实际问题；方法二是传统方法，通过直观感知，根据异面直线所成角定义，做出异面直线所成的角，把它放在三角形内，通过余弦定理计算解决问题。

(2)(原题号16)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为则该圆锥的侧面积为________。

中国仍是发展中国家，除了北京、上海、广州等一线城市拥有较多英语国家的移民和工作者，二、三线城市的英语国家移民和工作者的比例还是非常低的。融入型学习动机的学生在中国并没有理想的语言环境，也只是在大学英语课堂里，学生才能得到英语的输入，很多高校老师在对非英语专业的大学生授课时，并不全程使用英语教学，并且教师与学生很少进行互动交流，学生口语得到锻炼的机会不多。学校拥有的外教老师大多分配给英语专业的学生，很少会给非英语专业大学生授课，大学生和外国人交流的机会少，更加导致英语特别是英语口语没有实际的用途。

胡马强的别墅位于市郊。他首先以一个房地产项目的名义拍下了五十亩土地，然后在最佳的区域，划出单独的一块建了个四合院，说是什么华府房地产开发公司总部以及售楼部，实际上是个私人庄园。

本题属于数学情境问题，圆锥是学生熟悉的几何体，通过直观感知几何体内部结构，感知母线与截面和底面成角，体会圆锥的底面半径r与高h相等关系，得到母线为再通过△SAB的面积为得到r值，进而计算侧面积公式S=πrl得到答案。

图1

(3)(原题号20)如图1，在三棱锥P-ABC中，为AC的中点。

(Ⅰ)证明：PO⊥平面ABC；

(Ⅱ)若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值.

本题属于数学情境问题，目的是建立立体直观图形与空间点、线、面之间的联系，可以运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等方法认知这个三棱锥。首先感知直线PO与底面ABC垂直关系，并根据线面垂直的判定定理给予证明；其次通过二面角M-PA-C的大小为30°，经计算确定点M在棱BC上的位置；建立空间直角坐标系，计算平面PAM的法向量，感知PC与平面PAM所成角的正弦值是平面PAM的法向量和向量PC夹角余弦值的绝对值，经计算得到答案。

通过以上试题分析得知，直观想象素养水平的高低与试题的难度之间没有必然的联系，一道传统意义上的难题也许是因为在逻辑推理或计算上很复杂，但在直观想象水平或是数学抽象上只是最低要求。以上10道高考试题都含有直观想象素养考查，它们绝大多数都达到学科素养水平二的要求，个别达到水平三的程度，而且它们往往不是单一出现，总是伴随逻辑推理和数学计算的严密推断，达到数学的“严密性”特征，再通过数学抽象得出一般规律，达到数学的“一般性”特征。因此，关于数学学科素养的命题本质上属于对专项能力特征的考查。通过试卷分析，也让我们数学教育工作者深思，反思我们的教学，是否按《数学课程标准》的要求进行教学，核心素养的教学在课堂上是否落实。核心素养的基本目标是使学生夯实“四基”，达到“三会”和“四能”，它是教学和命题考试的终极目标。为此，我们在平时的教学和命题中，应适当创设有关直观想象的问题情境，精心设计问题串，培养学生运用直观和想象观察和思考，积累直观想象的活动经验，感悟出直观想象的内涵。建立数形联系、运用图形描述问题即把研究问题图形化、直观(图形)理解使问题简明形象，运用空间想象认识事物，形成数形结合的思想，从而达到培养学生直观想象核心素养的养成目标。

我们应不负时代使命，积极开展核心“素养”教育教学改革。只有教师认真学习，全面领会，不断实验与实践，才能全面提升学生的数学学科素养。

[参 考 文 献]

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017版)[M].北京：人民教育出版社，2017：4.

[2] 蒋海燕.中学数学狠心素养培养方略[M].济南：山东人民出版社，2017：106.

[3] 喻平.数学核心素养的一个框架[J].数学教育学报，2017(2)：19-23.

[4] 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准(2017版)解读[M].北京：高等教育出版社，2017：117-118.

[5] 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018(1)：8-10.

[6] 钱佩玲.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，2008：106.