媛媛妈的奥数课四年级第4讲：等差数列及应用

许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢？当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法。通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题。

一、等差数列

什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：

① 1,2,3,4,5,6,7,8,9，…

② 1,3,5,7,9,11,13.

③ 2,4,6,8,10,12,14…

④ 3,6,9,12,15,18,21.

⑤ 100,95,90,85,80,75,70.

⑥ 20,18,16,14,12,10,8.

这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列。其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：

数列①中，d=2-1=3-2=4-3=……=1

数列②中，d=3-1=5-3=……=13-11=2

数列⑤中，d=100-95=95-90=……=75-70=5

数列⑥中，d=20-18=18-16=……=10-8=2

一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列⑥中，第一项大于第2项，第2项却小于第3项，所以，显然不符合等差数列的定义。

为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2,……第n项记为an,an又称为数列的通项，a1又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项。

二、通项公式

对于公差为d的等差数列a1,a2,…an…来说，如果a1小于a2，则显然 a1－a2=a3－a2=…=an－an-1=…=d,因此：

a2=a1+d

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d

…

由此可知：an=a1+(n－1)×d           (1)

若a1大于a2，则同理可推得：

an=a1－(n－1) ×d                    (2)

公式（1）（2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项。

三、等差数列求和

若a1小于a2，则公差为d的等差数列a1,a2,a3,…,an可以写为a1,a1+d,a1+d×2,…,a1+d×(n－1).所以,容易知道：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an-1+a2=an+a1.

设 Sn=a1+a2+a3+…+an,

则 Sn=an+an-1+an-2+…+a1,

两式相加得：

2×Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)

即：2×Sn=n×（a1+an)，所以，

Sn=n×（a1+an)÷2              (4)

当a1大于a2时，同样也可以得到上面的公式。这个公式就是等差数列的前n项和的公式。

题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是997，而和恰等于997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：

对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

这个定理称为中项定理。

四、等差数列的应用

下面是给同学们的小练习，一起做做看吧！

感谢关注媛媛妈奥数课，下一讲将进行“倒推法的妙用”的学习。

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