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大家好，我是任祎老师，今天我们来聊聊三角形四心在平面向量中的考查。 首先，三角形四心指的是哪四心？这里说的三角形四心指的是：内心、外心、垂心、重心。 下边我们具体说说三角形四心的具体含义： 1、内心：角平分线交点  I为内心 三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。 2、外心：垂直平分线交点  I为三角形外心 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。 3、垂心：高的交点  H为三角形垂心 三角形垂心，指的是三角形的三条高或其延长线相交于一点的这个点。锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。 4、重心：中线的交点  O为三角形重心 三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。 三角形四心在平面向量中究竟如何考察？根据历年高考真题分析，在平面向量中结合三角形四心一般喜欢这样考查： （假设：O为三角形四心（内心、外心、重心、垂心），A、B、C、为三角形三个顶点，我们一般研究0A、OB、OC间的关系） 1、重心的向量表示：（中线的交点）  重心的向量表示 这里解释下，可以直接利用重心定义、三条中线的交点，结合平行四边形法则进行证明，如果考试出现这类表达式，说明O即为三角形重心。 2、垂心的向量表示：（高的交点）  垂心的向量表示 关于这个公式的推到，因为是三个连等式，任老师推荐两个两个化简，关键在于合并同类项，并利用数形结合的方法，很容易证明OA垂直BC，OB垂直AC，OC垂直AB，最终证明是三条垂线的交点。 3、外心的向量表示：（垂直平分线交点）  根据外心的定义，我们可以知道为三角形外接圆的圆心，那么我们数形结合的看，外接圆圆心道三个顶点的距离刚好都是外接圆半径，不难证明上述公式。 4、内心的向量表示：（角平分线交点）  外心的向量表示 上述公式括号内向量与向量的比表示该方向上的单位向量，两单位向量的和表示它们角平分线上的向量，那么上述式子表示角平分线共线的向量，那么这样的三条向量刚好表示角平分线的交点，因此刚好表示三角形内心。如果出现考题中涉及这类式子则表示内心。 以上就是任老师研究近年历次高考整理的关于三角形四心的向量考查方式，而且一但出现类似的题型，得分率相对较低，难度较大，很大一部分原因是学生未能扎实掌握这四类公式，希望任老师今天讲的能够帮助到各位需要的同学。 最后附近年关于三角形四心考题：(私信“知识清单”可领取讲义)  写在最后的话：高考其实没那么难，仔细研究，明确考点，针对性学习，最后数学成绩一定会有大的提升，希望各位高考数学成绩可以有好的发挥，金榜题名。 |
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