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角平分线的解析化处理——2019年连云港中考数学第26题 几何条件的解析处理，是在函数压轴题中数形结合的方向之一，在题目条件中出现角平分线，通常能联想起来的有两个角相等、角平分线上的点到角两边的距离相等，而两个角相等，进一步可联想到构造全等或相似三角形，到角两边距离相等，也可联想到构造全等三角形，以上这些属于常规常法，在此基础上做拓展，则可联系到一次函数解析式、两函数交点坐标等解析问题，而找到正确解题思路的关键，则是对角平分线的解析化处理。 题目 解析： (1)给出点A横坐标，且点A在抛物线L2上，可求得它的坐标为(2,-3)，抛物线L1经过点C(0,-3)，则解析式中参数c=-3，再将点A坐标代入，可求剩下一个参数b=-2，于是抛物线L1解析式为y=x²-2x-3； (2)典型的平行四边形存在性探索，基本思路是四个点中，A、C已知，以线段AC为基础，分两种情况，一是以AC为边，二是以AC为对角线。剩下两个动点P和Q，采取设其中一个，表示另一个的方法，设P(m,m²-2m-3)。 第一种情况：以AC为边 接下来表示点Q坐标时，面临一个新的问题，点Q在点P的左侧还是右侧？又需要分类讨论： ①点Q在点P右侧，由平行四边形性质PQ∥AC，则点Q纵坐标与点P相同，于是Q(m+2,m²-2m-3)，代入L2中，得m²-2m-3=-1/2(m+2)²-3/2(m+2)+2，解得m1=0(舍)，m2=-1，因此点P坐标为(-1，0)； ②点Q在点P左侧，因此Q(m-2,m²-2m-3)，代入L2中，得m²-2m-3=-1/2(m-2)²-3/2(m-2)+2，解得m1=-4/3，m2=3，因此点P坐标为(-4/3,13/9）或(3,0)； 第二种情况：以AC为对角线 由平行四边形对角线互相平分，先求得AC中点坐标为(1,-3)，根据中点公式，表示出Q(2-m,-m²+2m-3)，代入L2中，得-m²+2m-3=-1/2(2-m)²-3/2(2-m)+2，解得m1=0(舍)，m2=-3，因此点P坐标为(-3,12)； 综上所述，点P坐标有四个，分别为(-1,0)，(-4/3,13/9)，(3,0)，(3,12)； (3)AC平分∠PCR，进行轴对称处理，即作点P关于AC的对称点P'，然后求出CP'的解析式，它与抛物线L1的交点为R，表示出R坐标之后，再求PR的解析式，隐隐感觉到直线PR的斜率应该是一个定值，否则无从去求点Q坐标，因为从题目所求结论来看，既然要求Q坐标，则直线OQ应该相对固定。基于以上猜测，先写出P'坐标为(m,-m²+2m-3)，然后求出CP'解析式为y=(2-m)x-3，与抛物线L1联立得方程(2-m)x-3=x²-2x-3，解得x1=0，x2=4-m，于是点R坐标可求，为(4-m,m²-6m+5)，再设PR解析式为y=kx+b，只需要求出k即可，果不其然，k=2，因此直线OQ解析式为y=2x，再联立它与抛物线L2便能求出点Q坐标，有两个，分别为(（-7+√65)/2，-7+√65)和((-7-√65)/2，-7-√65)。 解题反思 在对角平分线进行解析化处理的时候，侧重于代数解析法，对于学生的计算基本功有较高要求，同时对于参考答案中的几何法，也有一定启发作用，利用角平分线构造相似三角形，也是较为简单的处理方法。但无论解析法或几何法，归根到底要还原到函数解析式中，此时的计算量很难说孰多孰少，只要最终能通向罗马，那么任何一道路都是可以的。 |
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