中考数学压轴题分析：2倍角问题

【中考真题】

（2020·内江）如图，抛物线经过、、三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积为3时，求点的坐标；
（3）过点作，垂足为点，是否存在点，使得中的某个角等于的2倍？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

题（1）代入点坐标求解析式即可。

题（2）用割补法（铅锤法）或者通过平行线转化（平移法）等都可以。先设点坐标再表示面积。或者直接求出高，再得到点D的坐标。

题（3）是2倍角的问题，本题比其它题目稍微难一些，因为需要分两种情况讨论，三角形CDE的两个锐角都有可能是∠ABC的2倍。如下图，下对称下去，得到2倍角。

只需过点C作BF的平行线即可得到点D。这是第一种。

在第一种的情况下，可以作∠BCO的平行线，只需令∠DCE=1/2∠BCO即可，可以设点D的坐标，过点D作x轴的垂线，表示出DE与CE的长度，再利用tan建立等量关系求解即可。

【答案】解：（1）将、、代入得：，
解得：．
故抛物线的解析式为．
（2）
法一：如图2，设点的坐标为，使得的面积为3，
，
则，

点，，
直线的解析式为，
的解析式为，
联立抛物线解析式，
解得，．
点的坐标为或．

法二：如下图所示，过作轴，垂足为点，与交于点，设（其中，，

，
，
，
，
在抛物线上，
，
，
，
或3，
当时，，当时，，
点的坐标为或．
（3）分两种情况考虑：
①当时，取点，连接，如图3所示．

，，
，
．
，
，
．
点，，
直线的解析式为，
直线的解析式为．
联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去），，
点的坐标为；
②当时，过点作于点，交于．作点关于的对称点，连接交于点，如图4所示．

，，
，
．
在与中
，
，
，即，
，．
设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为．
联立直线及直线成方程组得：，
解得：，
点的坐标为，．
点，，
直线的解析式为．
，且点，，
直线的解析式为．
联立直线及直线成方程组得：，
解得：，
点的坐标为，．
点，，点，关于对称，
点的坐标为，．
点，，，
直线的解析式为．
将代入整理，得：， 
解得：（舍去），，
点的横坐标为．
综上所述：存在点，使得的某个角恰好等于的2倍，点的横坐标为2或．

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