【原】中考数学压轴试题复习第三部分专题一代数计算及通过代数计算进行说理问题

代数计算及通过代数计算进行说理问题

课前导学

计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值．

压轴题中的代数计算题，主要是函数类题．

函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标．

还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律．

代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数．

我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法．

如图1，已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝x²－2x－3与直线y＝x＋1交于A、B两点，求点B的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点A的坐标，另一个解计算点的坐标．

几何法是这样的：设直线AB与y轴分别交于C，那么tan∠AOC＝1．

作BE⊥x轴于E，那么．设B(x, x²－2x－3)，于是．

请注意，这个分式的分子因式分解后，．这个分式能不能约分，为什么？

因为x＝－1的几何意义是点A，由于点B与点A不重合，所以x≠－1，因此约分以后就是x－3＝1．

这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次方程，很简便．

图1

例1         2014年湖南省长沙市中考第25题

在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1），(－2,－2)，，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．

（1）若点P(2, m)是反比例函数（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；

（2）函数y＝3kx＋s－1（k、s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若二次函数y＝ax²＋bx＋1（a、b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A(x₁,x₁)、B(x₂, x₂)，且满足－2＜x₁＜2，| x₁－x₂|＝2，令，试求t的取值范围．

动感体验

请打开几何画板文件名“14长沙25”，拖动y轴正半轴上表示实数a的点，可以体验到，A、B两点位于y轴同侧，A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2，并且对于同一个a，有两个对应的b和b′，但是t随b、t随b′变化时对应的t的值保持相等．

思路点拨

1．“梦之点”都在直线y＝x上．

2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况．

3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求t关于b的二次函数的最值，b的取值范围由“梦之点”、－2＜x₁＜2和| x₁－x₂|＝2三个条件决定，而且－2＜x₁＜2还要分两段讨论．

图文解析

（1）因为点P(2, m)是“梦之点”，所以P(2, 2)．所以．

（2）“梦之点”一定在直线y＝x上，直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x的位置关系有重合、平行、相交．

图1                        图2                      图3

①如图1，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x重合时，有无数个“梦之点”．此时k＝，s＝1．

②如图2，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x平行时，没有“梦之点”．此时k＝，s≠1．

③如图3，当直线y＝3kx＋s－1与直线y＝x相交时，有1个“梦之点”．

此时k≠，“梦之点”的坐标为．

（3）因为A(x₁,x₁)、B(x_2,x₂)两点是抛物线与直线y＝x的交点，联立y＝ax²＋bx＋1和

y＝x，消去y，整理，得ax²＋(b－1)x＋1＝0．

所以x₁x₂＝＞0．所以A、B两点在y轴的同侧．

如图4，由| x₁－x₂|＝2，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离都是2．

已知－2＜x₁＜2，我们分两种情况来探求a的取值范围：

①当A、B两点在y轴右侧时，0＜x₁＜2，2＜x₂＜4．所以0＜x₁x₂＜8．

②当A、B两点在y轴左侧时，－2＜x₁＜0，－4＜x₂＜－2．所以0＜x₁x₂＜8．

综合①、②，不论0＜x₁＜2或－2＜x₁＜0，都有0＜x₁x₂＜8．

所以0＜＜8．所以a＞．

由ax²＋(b－1)x＋1＝0，得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

由| x₁－x₂|＝2，得(x₁－x₂)²＝4．所以(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝4．

所以．整理，得．

所以＝＝＝．

如图5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线，在对称轴右侧，t随a的增大而增大．因此当时，t取得最小值，t＝＝．

所以t的取值范围是t＞．

图4                                  图5

考点伸展

第（3）题我们也可以这样来讨论：

一方面，由| x₁－x₂|＝2，得(x₁－x₂)²＝4．所以(x₁＋x₂)²－4x₁x₂＝4．

所以．整理，得．

另一方面，由f(2)＞0，f(－2)＜0，得f(2)f(－2)＜0．

所以＜0．

所以＝＝＜0．所以a＞．

例2         2014年湖南省怀化市中考第23题

设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x²＋2(m－2)x＋m²－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x₁，x₂．

（1）若，求的值；

（2）求的最大值．

动感体验

请打开几何画板文件名“14怀化23”，拖动x轴上表示实数m的点运动，可以体验到，当m小于1时，抛物线与x轴有两点交点A、B．观察点D随m运动变化的图像，可以体验到，当m＝－1时，点D到达最高点．

思路点拨

1．先确定m的取值范围，由两个条件决定．

2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于m的方程．

3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把m提取出来，可以使得过程简便一点．

图文解析

（1）因为方程x²＋2(m－2)x＋m²－3m＋3＝0有两个不相等的实数根，所以∆＞0．

由∆＝4(m－2)²－4(m²－3m＋3)＝－4m＋4＞0，得m＜1．

又已知m是不小于－1的实数，所以－1≤m＜1．

由根与系数的关系，得，．

若，那么．所以．

整理，得．解得，或（舍去）．

所以．所以＝＝．

（2）＝＝

＝＝

＝＝

＝＝．

所以当m＝－1时，它有最大值，最大值为3（如图1所示）．

图1

考点伸展

当m变化时，抛物线y＝x²＋2(m－2)x＋m²－3m＋3＝0的顶点的运动轨迹是什么？

因为抛物线的对称轴是直线x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标

y＝(m－2)²－2(m－2)²＋m²－3m＋3＝m－1．

因为x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1为定值，所以y＝－x＋1．

也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线y＝－x＋1（如图2所示）．

图2

例3         2014年湖南省湘潭市中考第26题

如图1，已知二次函数y＝－x²＋bx＋c的对称轴为x＝2，且经过原点，直线AC的解析式为y＝kx＋4，直线AC与y轴交于点A，与二次函数的图象交于B、C两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）若，求k的值；

（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k的值．

                                          图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14湘潭26”，拖动点C在抛物线上运动，可以体验到，当以BC为直径的圆经过原点时，△BMO∽△ONC．

思路点拨

1．第（2）题先将面积比转化为AB与BC的比，进而转化为B、C两点的横坐标的比．

2．第（2）题可以用直线的解析式表示B、C两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方程组；也可以用抛物线的解析式表示B、C两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组．

3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到B、C两点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程．

图文解析

（1）因为原点O关于直线x＝2的对称点为(4, 0)，所以抛物线y＝－x²＋bx＋c的解析式为y＝－x(x－4)＝－x²＋4x．

（2）如图2，因为，所以．设x_B＝m，那么x_C＝4m．

将点B(m,km＋4)、C(4m, 4km＋4)分别代入y＝－x(x－4)，得

①－②÷4，整理，得m²＝1．所以m＝1．

将m＝1代入①，得k＋4＝3．解得k＝－1．此时点C落在x轴上（如图3）．

（3）因为B、C是直线y＝kx＋4与抛物线的交点，设B(x₁,kx₁＋4)，C(x₂,kx₂＋4)．

联立y＝－x²＋4x和y＝kx＋4，消去y，整理，得x²＋(k－4)x＋4＝0．

所以x₁＋x₂＝4－k，x₁x₂＝4．

如图5，若以BC为直径的圆经过原点，那么∠BOC＝90°．

作BM⊥y轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N，那么△BMO∽△ONC．

根据，得．

所以．

将x₁＋x₂＝4－k，x₁x₂＝4代入，得．解得．

图2                      图3                      图4

考点伸展

第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点B、C的坐标，再代入直线的解析式列方程组．

将点B(m,－m²＋4m)、C(4m,－16m²＋16m)分别代入y＝kx＋4，得

①×4－②，得12m²＝12．所以m＝1．

将m＝1代入①，得3＝k＋4．解得k＝－1．

例4         2014年湖南省株洲市中考第24题

已知抛物线和直线．

（1）求证：无论k取何实数值，抛物线与x轴有两个不同的交点；

（2）抛物线与x轴交于A、B两点，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，求x₁·x₂·x₃的最大值；

（3）如果抛物线与x轴的两个交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图1），且CA·GE＝CG·AB，求抛物线的解析式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14株洲24”，拖动y轴上表示实数k的点运动，可以体验到，抛物线与x轴总是有两个交点．观察x₁·x₂·x₃随k变化的函数图像，可以体验到，x₁·x₂·x₃是k的二次函数．还可以体验到，存在一个正数k，使得AD与BE平行．

思路点拨

1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗．

2．第（2）题x₁·x₂·x₃的最小值由哪个自变量决定呢？当然是k了．所以先求x₁·x₂·x₃关于k的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x₁·x₂由根与系数的关系得到，x₃就是点C的横坐标．

3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到AD//BE．由此根据OD∶OA＝OE∶OB列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明．

图文解析

（1）因为＞0，所以无论k取何实数值，抛物线与x轴有两个不同的交点．

（2）由，得C(－(k＋1), 0)．所以x₃＝－(k＋1)．

由根与系数的关系，得x₁·x₂＝．

所以x₁·x₂·x₃＝＝．

因此当时，x₁·x₂·x₃取得最大值，最大值＝＝．

（3）如图2，由CA·GE＝CG·AB，得．

所以AG//BE，即AD//BE．

所以，即．所以．所以．

所以x₂＝k＋1，或－k－1（舍）．

又因为x₁＋x₂＝k＋2，所以x₁＝1，即A(1, 0)．

再将点A(1, 0)代入，得．

解得k＝2．所以抛物线的解析式为y＝x²－4x＋3．

图2                              图3

考点伸展

把第（3）题中的条件“CA·GE＝CG·AB”改为“EC＝EB”，其他条件不变，那么抛物线的解析式是怎样的呢？

如图3，因为点E在y轴上，当EC＝EB时，B、C两点关于y轴对称，所以B(k＋1, 0)．

将点B(k＋1, 0)代入，得．

解得k＝2．所以抛物线的解析式为y＝x²－4x＋3．