从阅卷过程中看学生不同思路的形成原因

从阅卷过程中看学生不同思路的形成原因

九年级四月调研考试，基本可以看作是一次中考的模拟考试，无论是命题的形式，考试组织，基本接近中考，而此时的中考复习，第一阶段也快完成，因此，这是一次极好的检验阶段性复习成果的考试。本次数学考试第23题，一道看似很简单的几何综合题，在阅卷过程中，其得分率并不如预期。可以猜想，不少学生在考完对答案时，只怕还不知道自己的解法有误，还沾沾自喜，而一旦老师进行了讲解，便会后悔莫及。类似的坑以往有吗？有，为何还会一踩再踩？这便是本文尝试研讨的问题。

题目

如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，E是边AD的中点，一个含有45°的三角板EFG的直角顶点与E点重合，并绕着E点旋转，EF交BC于点I，EG交DC于点H。

(1)如图1，A，B，F三点在同一直线上

①若DH=2，求BF的长；

②连接CG，求证：∠HCG=90°；

(2)如图2，FG经过点C，若CG=2，求EF的长.

解析：

(1)

①A，B，F三点共线，于是图中出现了“一线三直角”的经典模型，如下图：

可证△AEF∽△DEH，不妨设BF=x，于是AF:DE=AE:DH，其中AE=DE=3，可得2(x+3)=9，解得x=1.5；

②需要提防的坑有两个，第一个坑就是前一小题的结论，不能再使用，第二个坑就是图中的CG是连接起来的，而不是BC延长线，即B，C，G三点不一定共线。避坑的方式显然是在思考过程中不使用相关的条件。

方法一：

如果对“一线三直角”模型情有独钟，我们依然可以构造与前一问类似的全等，过点I作AD的垂线IM，如下图：

显然我们能找到△MEI≌△DHE，理由是IM=ED=3，∠IME=∠D=90°，∠MEI=∠DHE，这些都是比较容易能找到的条件，随后的思路是证明△FBI≌△GCH，毕竟前者中含有90°角，如果全等成立，那么后者中的∠HCG便是直角了。

由△MEI≌△DHE，可得IE=EH，而EF=EG，相减之后可证明IF=HG；而四边形ABIM是矩形这一结论也容易得到，因此BI=AM，而AM=AE-EM，CH=CD-DH，因此AM=CH=BI，而∠BIF=∠MEI=∠DHE=∠CHG，至此全等的三个条件全部找齐，于是∠HCG=∠IBF=90°；

方法二：

“一线三直角”不仅可在矩形内部构造，在外部同样可以，延长AD，并过点G作AD的垂线GN，如下图：

显然我们又能找到△AEF≌△NGE，于是NG=AE=3，请注意此时的四边形CDNG，CD⊥AD且NG⊥AD，即CD∥NG，且它们又相等，于是它是平等四边形，再加上有一个直角，于是得到矩形CDNG，自然∠HCG=90°，此法相对方法一更为简便；

方法三：

偏好旋转变换的同学，自然也有更独特的解法，既然题目中三角板是绕点E旋转的，于是肯定能找到两个以点E为旋转中心的全等三角形，别说，还真能找到，连接BE，CE，如下图：

显然我们依然能找到△EBF≌△ECG，因为EB=EC，∠BEF=∠CEG，EF=EG，于是可证明∠EBF=∠ECG，∠EBF=∠EBC+∠FBC，正好是一个45°角和一个90°角，而在∠ECG中，∠ECG=∠ECD+∠HCG，也包含一个45°角，于是剩下的∠HCG=90°；

方法四：

擅长相似的同学，或者懒得作辅助线的同学，也有其独特的解法，既然在第一问中用到了相似，那就接着用吧！但是DH=2不能使用，那就设其为x好了，如下图：

(2)

方法A：

和上一问的方法一类似，同样构造“一线三直角”模型，得到△IME≌△EDH，和①中的证明基本一致，然后连接BF，证明△IBF≌△HCG，如下图：

于是在△CBF中，我们可以得到∠BFI=∠G=45°，而∠EFG=45°，正好凑成直角即∠BFC，由勾股定理可求得FC=4√2，则FG=4√2+2，根据等腰直角三角形三边数量关系，可得结果EF=4+√2；

方法B：

而对前面旋转变换使用得心应手的同学，依然可以构造这样的一对全等三角形，如下图：

和方法A类似，△BEF≌△CEG之后，BF=CG=2，∠BFE=∠G=45°，同样在Rt△BCF中用勾股定理求FC，最后再求EF；

方法C：

题目中的等腰直角△EFG中，∠G=45°，CG=2，于是再构造出一个等腰直角△EMC，作EM⊥FG于点M，连接CE，如下图：

设CM=x，于是GM=2+x，则EM=2+x，在Rt△EMC中，由勾股定理列方程可得(3√2)²=(2+x)²+x²，解得x=2√2-1，于是GM=2√2+1，EF=4+√2；

方法D：

既然可以利用∠G来构造等腰直角三角形，那么最直接的方法莫过于过点C作CN⊥EG，再连接CE，如下图：

在图中最小的等腰直角△CNG中，可求得CN=NG=√2，而在Rt△ECN中，可求出EN=4，于是EG=EF=4+√2；

部分学生答题图片如下：

这些答题过程并非全对，有些错误正是踩坑结果，但基本上所描述方法都能找到，学生错误的原因较多，无法一一列举，但看图审题绝对是丢分最多的因素。

阅卷反思

以上种种解法，均出自学生答题过程，甚至还有在第1小题第②问中，为了绕开B，C，G三点共线，而又作了一个点G'，然后证明它与G点重合的学生。说明在答题过程中，确实有学生注意到了这个坑，但是更多学生却置之不理，想当然地以为它们共线，于是各种默认共线的条件便那么被使用了。

在几何综合题中，这种坑其实考查的就是学生审题能力，特别是图形理解能力，看上去像就认为是条件的学生，无疑在平时学习中经常这么说，不经过严密的思维证明就充当条件或结论，态度上也有明显问题，应付作业的习惯使然，可见形式主义已经严重影响到了学生这个未成年人群体。

从学生使用的各种方法来看，无论我们的教学侧重哪一类，学生都会有自己独特的思考方式，偏爱全等，相似，代数计算，特殊直角三角形的学生都能找到相应的思路，可谓条条大路通罗马。但在课堂上，一个老师是无论如何也不可能将这么多方法全部都涉及到，时间有限，但在多节习题课中，分别展示不同的思维方向引导学生是可行的。随之而来的问题就是，老师研究多种解法，并在不同场合引导学生思维，下课后学生必须将这些方法进行消化整理，方能为已所用。

这道题的原型依然是教材，旋转变换中有它，矩形中有它，等腰三角形中也有它，而“一线三直角”更是经典模型。事实上，当点C经过FG时，三角板的大小已经确定，于是图中可求线段远不止EF，其实DH，CH也可求，若将最后一问改为求DH：CH的值，难度就上升不少了，私下计算了一番，貌似数字不好算，还需要对条件进行修改，由于本人较懒，就没下文了。