试题来源:(人教版)
八年级下册原题改编
解析分享:(2020级15班)
王 平 孔祥瑞 淡奕铭
郝泽清 吴修琪 张益蒙
试题内容 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
求证AE=EF.
(2)如图2，在(1)的背景下，将“点E是边BC的中点”变为“点E是边BC上一点”，请问AE=EF这个结论是否仍然成立，请说明理由. 
解法分析 第一问是第二问的特殊情况，证法与第二问相同，本文仅分析第二问.
同学们可以沿着两个方向去思考：
1.构造常见模型(全等三角形、等腰三角形等)直接证明；
2.利用图形变换(旋转、轴对称等)转化后间接证明. 直接证法-作垂直1
作EG⊥BC，交AC于点G，
1.证明△CEG是等腰直角三角形，进而证明EC=EG，∠AGE=∠FCE=135°，
2.根据等式性质1证明∠1=∠2，
3.根据ASA证明△AEG≅△FEC，进而证明AE=EF. 
直接证法-作垂直2
作EG⊥BC，交FC的延长线于点G，连接AC，
1.证明△CEG是等腰直角三角形，进而证明EC=EG，∠ACE=∠FGE=45°，
2.根据等式性质1证明∠AEC=∠FEG，
3.根据ASA证明△AEC≅△FEG，进而证明AE=EF. 
直接证法-截长补短
在AB上截取AG=EC，连接EG，
1.根据同角的余角相等证明∠1=∠2，
2.证明△BEG是等腰直角三角形，进而证明∠AGE=∠ECF=135°，
3.根据ASA证明△AGE≅△ECF，进而证明AE=EF. 
间接证法-截长补短1
连接AC，在AC的延长线上截取CG=CF，连接EG，
1.证明∠ECF=∠ECG=135°，
2.根据SAS证明△ECF≅△ECG，进而证明EF=EG，∠F=∠G，
3.根据八字形(右图)证明∠EAG=∠F，进而证明∠EAG=∠G，
4.根据等角对等边证明AE=EG，进而证明AE=EF. 
间接证法-截长补短2
分别延长AB、FC，交于点G，连接EG、AC，
1.证明△CBG是等腰直角三角形，进而证明BG=BC=BA，
2.根据SAS证明△ABE≅△GBE，进而证明∠BAE=∠BGE，AE=EG，
3.根据等式性质1证明∠CAE=∠CGE，
4.根据八字形证明∠CAE=∠F，进而证明∠CGE=∠F，
5.根据等角对等边证明EG=EF，进而证明AE=EF. 
间接证法-截长补短3
延长AB至点G，使BG=BE，连接EG、CG、AC，
1.根据SAS证明△ABE≅△CBG，进而证明AE=CG，
2.根据ASA证明△ECF≅△CEG，进而证明EF=CG，
3.根据等量代换证明AE=EF. 
间接证法-轴对称1
作点F关于BC的对称点G，连接CG，EG，AC，
1.根据轴对称的性质得：CF=CG，EF=EG，
2.根据SSS证明△ECF≅△ECG，进而证明∠F=∠G，A、C、G三点共线，
3.根据八字形(右图)证明∠EAG=∠F，进而证明∠EAG=∠G，
4.根据等角对等边证明AE=EG，进而证明AE=EF. 
间接证法-轴对称2
作点A关于BC的对称点G，连接CG，EG，AC，
1.根据轴对称的性质得：CA=CG，AE=EG，
2.根据SSS证明△ECA≅△ECG，进而证明∠EAC=∠G，F、C、G三点共线，
3.根据八字形(右图)证明∠EAC=∠F，进而证明∠F=∠G，
4.根据等角对等边证明EF=EG，进而证明AE=EF. 
直接证法-四点共圆(后继知识)
连接AC、AF，取AF的中点O，
1.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得：OE=OA=OF=OC，
即点A、E、C、F四点共圆，进而证明四边形AECF是圆O的内接四边形，
2.根据“圆内接四边形对角互补”可得：∠EAF+∠ECF=180°，则∠EAF=45°，
3.证明△AEF是等腰直角三角形，则AE=EF. 
直接证法-一线三直角
作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，此证法较复杂，本文不再分析，感兴趣的同学可进行思考. 
类比迁移 如图，在(1)的背景下，将“点E是边BC的中点”变为“点E是边BC延长线上一点”，请问AE=EF这个结论是否仍然成立？上述证明方法还可以使用吗？
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