数的认识——小学数学数概念教学的认识与思考

一、概念解读

数的认识，一直是小学数学中的重要内容之一。自然数、整数、小数、分数、百分数等，都是小学数学中最基本的概念，这些概念是学生今后构建“概念网络图”、学习数的运算、研究数量关系的重要基础，是小学数学中的核心内容。数概念是数学教学中最基本的概念之一。自然数的产生，起源于人类在生产和生活中计数的需要。自然数的形成包括两个方面：一是0-9这10个数字的形成，二是计数单位的建立。随着人类社会实践的需要，数的概念逐步形成和不断发展。根据数系的形成过程可知，数概念的形成过程是一个数概念外延的多次扩张过程。在小学数学中，在自然数集合中添加负整数就得到了整数，在整数集合中添加分数就得到了有理数，在有理数集合中添加无限无循环小数就得到了实数。

小学阶段对数概念的认识在本质上应从数的扩充角度来理解——

分数的扩充一般有两种需要：一是分东西的过程中，需要对一个物体进行切割与分配时，整体中的“部分”无法用自然数来表示，就需要有刻画“部分”的方式方法；二是计算过程中，对除法算式无法用自然数表示计算的结果时，就需要有刻画这类除法运算结果的方式方法。

小数的产生有两个前提；一是十进制计数法的使用，一是分数概念的完善。小数的产生有两个动因：一是十进制计数法扩展完善的需要，二是分数书写形式的优化改进。小数的出现标志着十进制计数法从整数扩展到了分数，使分数与整数在形式上获得了统一。

负数的产生。负数是一个与正数的意义相反的数学概念。它的形成源于对生活中完全相反的事物数量的刻画。如进与出，上与下，进与退等。

 二、教材内容结构

内     容		册  次
整数的认识	认识10以内的数  认识20以内的数	一上
	认识100以内的数	一下
	认识万以内的数	二下
	认识多位数	四下
	负数的初步认识	五上
	因数和倍数  最大公因数和最小公倍数	五下
（百）分数和小数的认识	分数的初步认识（把一个物体平均分）	三上
	分数的初步认识（把一个整体平均分）	三下
	小数的初步认识	三下
	小数的意义和性质	五上
	分数的意义和性质	五下
	认识百分数	六上

教材把认识整数的教学分成20以内的数，100以内的数，万以内的数，多位数，简单的负数等五个阶段，循序渐进，螺旋上升，安排在一到五年级陆续进行。分数和小数的教学分成两段进行，交叉编排。第一段学习分数、小数的初步认识。把初步认识分数放在前面，初步认识小数就有十分之几的分数作支撑了。第二段系统学习小数和分数的知识。分数、小数是数概念的一次重要扩展。无论是在意义、书写形式、计数单位、计数法则等方面，还是在学生的生活经验方面，分数、小数都与自然数有较大不同。百分数由于在实际生活中的特殊性，教材将百分数作为专门的一段内容学习，安排在六年级上册。百分数是一种特殊的分数，表示一个数是另一个数百分之几的数都是百分数。自然数、小数和分数虽然表征形式不同，但其本质都是“计数单位与其个数乘积的累加”。

 三、实践之思

1.充分经历，关注过程

无论是整数、分数、小数，还是负数的产生与发展，都是人类生活实践的总结。教材根据数的产生与发展特点，十分注意创设现实情境或操作活动，引导学生经历从具体情境抽象出数的过程，逐步体会数的含义，建立正确的数概念。

（1）整数概念的形成过程

  整数的计数方法是十进制计数法，有了数位和0-9这10个数字，就能表示出所有的整数。因此，数字与数位是两个十分重要的概念。以一年级认识1-5教学内容为例，让学生在具体情境中数物体的个数，把物体的个数与相应的数量建立联系，初步体验物体的个数可以用数量表示；接着，用数珠表示物体的个数，体会相应颗数的数珠表示一类等价集合的元素的个数；在此基础上，把数珠表示抽象成用数字符号表示。这样的呈现方式，突出了“数是对数量的抽象”。要表示更大的数，数位概念的建立就显得尤为重要。我们可以通过引导学生摆小棒、小方块、计数器、算盘等认数工具的操作活动让学生理解位值原则。（同一个数字在不同的数位其意义不同，它表示的是不同计数单位的个数）以认识11-20各数为例，通过数小棒、捆小棒、回顾反思等活动，教学一和十，以及10个一是1个十。以12为重点，教学用小棒表示十几的方法，体会十几就是一个十和几个一合起来的数。最后，围绕19根添上1根是多少根，经历得出20的过程，初步理解20的含义，渗透“满十进一”的思想。例2的教学可以把小棒表示的数过渡到计数器上，让学生初步了解计数器上的个和十的意思，进一步理解11-20各数的组成，体会不同数位上的数有不同的计数单位。然后，对照着计数器上的数珠写数，赋予数字的具体含义，形成数的概念。

（2）展开小数概念的建构过程

 小数概念的学习，无论是三年级的直观认识，还是五年级的认识小数的意义，教材都是从学生熟悉的现实背景入手，再通过去情境化，形成概括化的认识。以五年级认识小数的意义例1为例，可安排三个层次组织教学。第一个层次，通过分米改写成米的活动，唤起已有的一位小数经验，第二个层次，认识两位小数。首先，在厘米改写成米的探索活动中，展开两位小数的推理与思考的过程。接着，尝试4厘米，12厘米各是几分之几米，迁移经验，深化理解，最后，看着直尺，独立表示两位小数。第三层次，认识三位小数。延续前面的情境，压缩推理过程。在学生获得丰富认识的基础上，揭示小数的意义。这样，可以帮助学生自主建构小数的概念。

（3）展开分数意义的教学过程

分数教材分三个阶段编排：第一阶段三上，把一个物体、图形平均分成若干份，其中一份或几份是这个物体、图形的几分之一或几分之几。第二阶段三下，把由若干个同类物体组成的一个整体平均分成几份，用几分之一或几分之几表示这个整体里的一份或几份。这是认识分数的一次发展。第三阶段，五下教学分数的意义和性质。以五下分数的意义和性质单元例1为例，可以分四个层次展开：一是呈现学生曾经经历过的活动，让学生用分数表示图中涂色的部分，激活已有的经验；二是引进单位1，用单位1统摄被平均分的对象；三是比较各个具体分数的含义，抽象、概括分数的定义；四是介绍分数单位，体会分数是由几个相同分数单位累加的结果。

2.加强感悟，发展数感

在儿童步入小学校门的第一学期，教材编排组织他们学习20以内各数的认识。这是自然数概念中最基础的知识之一，是建立数感的开始，也是认数教学的第一阶段。到了第二学期，教材将认数范围从20以内扩展到100以内，这是认数教学的第二阶段。到了二年级，认数范围又扩展到万以内。到了四年级学习大数的认识。我们在数的认识的教学过程中，需要多设计一些有助于学生形成数感的情境和活动，促进学生逐步发展数感。例如：数数活动是学生形成数概念的基础。通过一个一个的数，学生知道了某个集合的数量，通过2个2个地数或5个5个地数，学生丰富了对数的认识。其次，数数活动中蕴含着丰富的数学思想。在数数时，特别是点数时，学生必然用到一一对应的原则，即每说一个数必然对应一个物体。而一一对应作为数学中重要的数学思想，它能够建立起事物与事物之间的对应关系。同时要重视学生的操作活动体验。通过多种感知、操作在活动中不断体验、发现、创造。

我们还可以在富有挑战性的数学活动中发展数感。如认识百及百以内的数一课，我们可以进行四次数一数活动。初数百以内的数，了解学生已有的数数经验，可以为学生提供数量不同的学具，如芸豆、小正方体、小棒、铅笔等。再数百以内的数，感受按群计数和数数策略的多样化。当发现学生数数的方法只停留在1个1个的数，而且数过后仍把学具堆成一堆，也就是数数经验和方法没有发展时，我们可以让学生的思维从无疑到有疑，“能不能想个好方法，让别人一看就知道是多少”，在智慧的碰撞中，多种数数的方法和策略也随之出现了。三数百以内的数，感受数之间的关系。当学生数出自己的学具不够100或比100多时，可以追问：怎样才能得到100个？学生说出不够100再加几个，和比100多几个就去掉几个时，不仅感受到了百以内数的联系，而且体验了递加和递减的过程，同时巧妙地建立了百这个数位。四数百以内的数，体会数位与计数单位间一一对应的关系。数感是日积月累的，需要在具体的认数活动中逐步形成和发展。

3.结构一体，生长延伸

关于数概念的教学，要注重知识的生长点与延伸点，把每堂课教学的知识置身于整体的知识体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同角度加以分析、从不同层次进行理解。比如除法概念：我们可以做一张思维导图。