数学中的几个牛角尖问题

作者 | 民间数学家

来源 | 职业数学家在民间

一

今天有人问我：

整数到底是不是分数？

这个问题，确实含混不清，分数在小学之后似乎是定义为

一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比

按照这个定义，整数肯定不能是分数？

但是似乎在小学阶段，5/5，9/3 等也都被看成是分数。而所有整数也都可以写成：n=n/1，所以也都可以看成是分数。

这个问题含混不清的根源在于不同的教材有不同的定义，小学老师教学的时候有必要明确一下，要和小学课本相一致。但其他人，其他时候根本没有必要纠结这个问题的对错，这个问题绝大多数的时候根本也不会影响你理解数学。

其实学到后面，有理数的概念和分数的概念也是混合使用了，没什么区别。在现代代数学分支——交换代数中，分数(fraction)也包括分母为1 的情况。

所以，我认为分数的概念以后会标准化，统一定为两个整数的比值(第二个整数不为0)，自然也就包括整数了。

二

还有一个常见的问题

0 到底是不是自然数？

大约是二三十年前吧，中小学教材就已经统一把0纳入自然数的范围，好像这个约定，国际上也是统一的。这种做法显然是符合教学规律的。但从历史的角度来看0这个数一点也不“自然”。在数学史上，0这个数字的引入，是个开天辟地的大事，如果说分数至少有几千年的历史，无理数至少有两千年的历史，那么0这个数字只有一千多年的历史。

目前仍然有不少数学专著不把0约定为自然数，所以这个问题现在也没有完全统一，但和分数的问题一样，这个问题也不必要纠结。阅读数学专著的时候，留意一下作者的约定就好了。

当然了，把0约定为自然数，这是一个趋势，估计以后迟早会统一规范。

三

最后这个问题是真的太牛角尖了：

x=1 究竟是不是方程？

我读过的各种数学专著似乎都没有给方程下一个严格的定义，所以这个问题确实有点歧义。虽然我也倾向于认为

x=1是方程

但这个问题本身意义不大，是一个很无聊的问题。不论你认为它是，或者不是方程，你都可以给出一大堆理由。在没有正式给出方程严格定义之前，这种问题讨论不出对错。而且，不管你把x=1当作是方程，还是不当作是方程，都不会影响你求解任何方程。

四

这三类问题都属于典型的约定问题。学数学，或者教学过程中，如果被这些问题迷惑，花大量时间精力去纠结，争论，考究，那就有些杞人忧天，误入歧途了。