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1、平移+旋转+翻析 例1、如图1-①，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4），将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为、BC、相交于点M。 （1）求点的坐标与线段的长； （2）将图1-①中的矩形沿y轴向上平移，如图1-②，矩形 是平移过程中的某一位置， 、 相交于点 ，点P运动到C点停止，设点P运动的距离为x，矩形与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 
（3）如图1-③，当点P运动到点C时，平移后的矩形为 ，请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形OABC重合，请简述你的做法。 分析：第（1）问由勾股定理得 的长，从而求出点的坐标，已知线段OC的长，继而求出线段的长。第（2）问在矩形的整个平移过程中，矩形 与原矩形OABC重叠图形由四边形（当点从开始位置平移到矩形OABC的边BC上时）变为三角形（当点从矩形OABC的边BC上到运动停止时），求出对应图形在对应条件下自变量x的取值范围及重叠部分的面积。第（3）问具有开放性，可直接通过图形沿某一条直线翻折得到，或先旋转再平移得到，或先旋转再翻折得到，或先平移再旋转得到。 解：（1）如图1-①，因为，所以点的坐标为（0，5）。 。 （2）在矩形沿y轴向上平移到P点与C点重合的过程中，点运动到矩形OABC的边BC上时，求得P点移动的距离。当自变量x的取值范围为时，如图1-②，由△∽△，得，此时，，即，当自变量x的取值范围为时，求得。（3）①把矩形沿∠的角平分线所在直线对折。或②把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度。或③把矩形绕C点顺时针旋转，使点与点B重合，再沿BC所在的直线对折。或④把矩形沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转，使点与点A重合。 2、旋转 例2、如图2，在平面直角坐标系xOy中，把矩形COAB绕点C顺时针旋转角，得到矩形CFED。设FC与AB交于点H，且A（0，4）、C（6，0）（如图2-①）。 （1）当时，△CBD的形状是_________； （2）当AH=HC时，求直线FC的解析式； （3）当时，（如图2-②），请探究：经过点D，且以B为顶点的抛物线，是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由。
分析：第（1）问可利用旋转前后对应线段相等得出BC=CD，∠BCD=，所以△CBD为等边三角形；第（2）问中可利用勾股定理求出H点坐标，从而求出FC的解析式；第（3）问中求出M点坐标，代入解析式检验。 解：（1）等边三角形。 （2）设AH=x，则HB=AB-AH=6-x，依题意可得AB=OC=6，BC=OA=4。 在Rt△BHC中，，即，解得，∴H（，4）。 设，把H（）、C（6，0）代入得解得 ∴。 （3）抛物线顶点为B（6，4），设，把D（10，0）代入得， ∴，依题意可得，点M的坐标为（8，3），把代入，得，∴抛物线经过矩形CFED的对称中心M。 例3、如图3，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点（）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB=2OA，矩形AOBC绕点A逆时针旋转得矩形AGDE。过点A的直线交y轴于F点，FB=FA。抛物线过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M。
（1）求k的值； （2）点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由。 分析：第（1）问利用已知条件及勾股定理，得，又直线过点A（n，0），用中间变量n，求出k的值。第（2）问用中间变量n表示出抛物线的解析式，解直线与抛物线联列的方程组，求出点H的坐标，从而用中间变量n表示出△AMH的面积及矩形AOBC的面积，进而求出它们的比值。 解：（1）根据题意得到：B（0，-2n）；当时，，∴点F的坐标为（0，m），而FB=。 ∵Rt△AOF中，，又FB=AF，∴， 化简得：，对于过点A（n，0） ∴，∴ （2）∵抛物线过点E（3n，0）、点F（0，）、点G（，）， ∴ 解得：，，。 ∴抛物线为。 解方程组：得；
∴H坐标是：（5n，3n）， HM=，AM=， ∴，而， ∴，不随着点A的位置的改变而改变。 3、翻折 例4、在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB=2，AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合，将矩形折叠，使点A落在边DC上，设A′是点A落在边DC上的对应点。
（1）当矩形ABCD沿直线折叠时（如图4-①），求点A′的坐标和b的值；（2）当矩形ABCD沿直线折叠时，①求点A′的坐标（用表示），并求出k和b之间的关系式；②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图4-②，4-③，4-④三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围。（将答案直接填在每种情形下的横线上）
k的取值范围是________；k的取值范围是________；k的取值范围是________ 简析：（1）根据轴对称的性质，可得两直角三角形相似，从而得对应线段成比例，求出点A′的坐标为（，1），再由勾股定理求出。（2）本小题与（1）小题的区别是用字母k表示数，同法（1）求出点A′的坐标为（-k，1），k和b之间的关系式为。（3）从图②至图④中对称轴的位置可以看出，对称轴由陡渐平，从而k值由小到大直至为O，再考虑点A′的三个特殊对称点，当A′分别与点C、D、B重合时，对应的k值分别为-2，-1，-2+，从而在三种图形下对应的k的取值范围分别为，，。 例5、将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10。 （1）如图5-①，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
（2）如图5-②，在OA、OC边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G∥y轴交E′F于T点，交OC于G点，求证：TG=AE′。
（3）在（2）的条件下，设T（x，y）①探求：y与x之间的函数关系式。②指出变量x的取值范围。 （4）如图5-③，如果将矩形OABC变为平行四边形OA′B′C′，使OC′=10，OC′边上的高等于6，其它条件均不变，探求：这时T′（x，y）的坐标y与x之间是否仍然满足（3）中所得到函数关系，若满足，请说明理由；若不满足，写出你认为正确的函数关系式。
简析：（1）设E（0，m），在△ADE由勾股定理得或由△ADE∽△BCD得，解得，∴E（0，）。 （2）连接OD′交E′F于P，由折叠可知E′F垂直平分OD′，即OP=PD′，由OE′∥DG′，从而得出OE′=D′T，从而AE′=TG。 （3）①连接OT，由（2）可得OT=D′T，由勾股定理可得得。 ②结合（1）可得AD′=OG=2时，x最小，从而；当E′F恰好平分∠AOB时，AD′最大即x最大，此时G点与F点重合，四边形AOFD′为正方形，故x最大为6，从而，故。 （4）y与x之间仍然满足（3）中所得的函数关系式。理由：连接OT′仍然可得OT′=D′′T′，即从而（3）中所得的函数关系式仍然成立。
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