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习题教学对学生值得巩固与梳理、融汇与贯通并转化为技能有着重要的作用，是数学教学的重要组成部分，但如何通过习题教学使知识通汇贯通、闻一知十？如何通过习题教学让知识条理清晰、纵横联系？如何通过解题活动来培养学生良好的思维能力？这些都值得我们一线教师思考。题不在多，理解则灵，在“一题多解”的过程中，将习题教学提升为一种自我学习、研究的动力，追寻问题的“根”与“宗”，理解问题的本质，实现教学相长，或许这种“闻一以知十”的数学活动，更能激发学生浓厚的学习兴趣，促进思维品质的发展，体验“数学之旅”的创意和愉悦！暑期八月，我选择2013年新课标Ｉ卷理科数学第17题为例，在“学生返校日”进行了两个课时的“一题多解”教学。现整理成文，以飨同行。
这是一道颇具匠心的三角形试题，难易适中，但格调清新、意境幽深，是展示课程标准理念，充分体现解法的开放性与探究性，考查学生的创新意识的好题，堪称命题专家智慧的结晶。
绝大多数学生将条件转化集中于以AP为一边的APC或△APB中，再应用余弦定理求得边长AP，顺利解决问题（1）。 
但对于问题（２），部分学生认为条件较为分散，难以直接突破，故而沉思不语。教师提示：联想到解决角的问题的工具常应用向量，故考虑利用向量的数量积与坐标运算，建立关于∠PBA的三角等式求解。
教师点评：本题的求解可谓“一波三折”，先是引参设元，集中变量后，建立关于角的正余弦的等式，进而化弦为切。解此题，需要有非常的计算功力不可，难道真的只能这样笨拙地求解吗？一学生提出，由于∠BPA，∠CPB均为定角，根据圆的性质，可知点P为两圆交点，因此在平面直角坐标系中，可确定点Ｐ的坐标求解。
教师点评：解法二运用坐标法，将几何问题代数化，不失为一种妙法，但从计算上而言，还是较为繁难。学生对数学问题的理解是丰富多彩的，如对习题所给信息进行思维加工的深度和广度把握的不同，以及对相关内容和思想掌握程度的估计不足，不同的切入点体现出不同的思维层次，均具有个体差异性。一旦这种理解的差异性外化，其在解题过程中的思考尝试与表现形式也就具有多样性特征导致解题繁简的不同。学生继续思考问题（1），由ΔBPA中∠BPA已知，因此要求tan∠PBA，只需表示出边BP、AP 的长度，由于∠BPC的特图3殊性，可考虑延长CP得解法三。 
由于在ΔAPB与ΔBPC中借助已知角∠BPA与待求角∠PBA，可以表示线段PC，PA，因此，将各量集中到ΔAPC中求解。
教师点评：以上解法与解法一本质相同，只是建立等式的方式相异。这告诉我们，在解题时如果不能注重分析条件间的联系，就会导致解题兜圈子，使简单问题复杂化。大家想想，问题中有如此多的角，它们有什么关系吗？
数学教学不应只注重数学形式层面的知识，而应更重视数学发现层面的内容，让学生以积极的心态调动已有的认知和经验，去经历理解、感受数学思想和观念、技能与方法。奥加涅相指出，“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可行性。”很多时候，教师仅仅游走在学生思维的边缘，只关注习题在巩固知识方面的效用，单纯追求习题量的积累，忽视其课堂教学的“生成”功能与知识的联系功能，只有当我们真正站在学生的角度思考问题，充分暴露解题思维，才可能理解学生，帮助学生把解答中缺失的思维找回来，才可能理解教学，实现由单一的机械重复训练向主体探究的自我建构的转变。 受以上解法的启示，注意到求tan∠PBA的实质为建立关于∠PBA的三角方程，因此可以通过边角之间的联系，利用正弦定理建立方程解题。
教师点评：一个数量，两种算法，即得到一个等量关系，这种思维方法称为“算两次”，又称富比尼（G·Fubini）原理。它在解决此题时，构思精巧，过程简约，干脆利落，给人以美感，其作用耐人寻味。 在习题教学中，引导学生对一道题所可能涉及的知识与方法进行多角度、多层面的深入思考，发表对问题的独到见解，努力做到以知识为支撑点、以能力为再生点、以思维训练为落脚点，用数学思想和方法来指导解题，将题研“深”、拓“广”、钻“透”，将课堂发展为一个思维发散和碰撞的“激发场”，让学生在交流中形成思维发散的新颖性与独特性，有利于全面系统地掌握解题规律，加强知识之间的联系，并不断将新学习的知识方法纳入已有的知识网络，使所学知识方法“升华”为数学思想，是培养学生创新意识，形成科学思维和提高习题教学效果的有效途径．受刚才学生成功运用“算两次”方法的启示，又有学生提供下面解法： 
考虑到ΔBPC为特殊三角形，通过将线段PB或PC“算两次”，特别地，若对ＰＣ“算两次”，则问题近乎“一望而解”。
教师总结：一道优秀的数学题蕴藏着丰富的解题信息，只要我们用心探索，勇于思考，必可觅得“终南捷径”。 一道数学题的解答，并不是问题的终结，因为习题教学的目的在于，揭示数学知识的价值，为学生提供一个思考的机会，提升学生分析问题、解决问题的能力，激发学生探究问题的根源的兴趣与心向。因此，对“只缘身在此山中”的问题虽有较完美的解决，如果教师注重问题和学生经验、课外知识的联系和融合，以问题为载体，站在一定的高度加以审视，力“识庐山真面目”，对问题延伸探究，引领学生追本溯源，从中发掘题目的精髓，看清问题的本质，这样，学生才能用更高的观点、更广的视野、更理性的眼光去思考数学问题，使数学习题教学更为高效真实。
由以上解法可知，图１中有∠PBA＝∠PCB＝∠PAC，即本题的背景为三角形的布洛卡（Brocard）点：若Ｐ是△ABC内一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝ω，则点Ｐ称作△ABC的第一类布洛卡点（正布洛卡点）；若∠QBA ＝∠QCB＝∠QAC＝ω′，则点Ｑ称作△ABC的第二类布洛卡点（负布洛卡点），其中ω，ω′称为布洛卡角。任意三角形都有两个布洛卡点，且△ABC的正布洛卡点为△ACB的负布洛卡点。
根据布洛卡角所在图形，结合余弦定理，我们有如下解法： 教师总结：解法九、十虽然曲折，但我们从中收获布洛卡角的两条性质：（1）cotw＝（ａ²＋ｂ² ＋ｃ²）÷４S。其中Ｓ为ΔABC的面积；（2）cotw＝cotω′＝cotＡ＋cotＢ＋cotＣ。这表明数学中众多的知识点并不“孤单”，不正说明了“数学有趣”吗？ 波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”，在数学教学中，教师应使学生获得数学理解的同时，充分认识数学知识间的内在联系，这样有利于学生的知识的迁移与内化，习得结构化的、互相联系的数学知识，为形成和发展良好的数学认知结构打下基础。 有意思的是，由布洛卡点的几何意义并结合解法二，可以得到问题（2）的纯几何解法。考虑到条件中涉及到直角三角形，而勾股定理是描述直角三角形三边的内在关系的数学工具，因此，可以构造直角三角形求解。
教师点评：这正是代数运算显其表，几何性质蕴其中，看来此题也是一道初中几何问题，可以构造直角三角形与相似三角形知识解决。正余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是正余弦定理的特例，对斜三角形添加辅助线构造直角三角形，再利用边角关系进行转化，不失为一种解三角形之道。从这种意义来讲，勾股定理与正余弦定理在解三角形时实质是等效的。数学知识间的联系，不单表现在邻近概念的联系，或知识的表层联系与单向联系，在数学教学中，应通过解法的展示与评价，引导学生认识知识的多向、深层次联系性，对数学知识与方法的运用既“知其然”又“知其所以然”，以学会有效合理的选择解题方法。学生探索其他解法，作PD⊥ AC于点Ｄ，由ΔADP∽ΔCPB求解，或过点Ｃ作CF⊥AP于F，结合ΔAFC∽ΔCBP得解。限于篇幅，不再详述。
在数学教学中，“一题多解”既要重问题，更应重主体、重过程，发挥习题的教学功能，达到知识方法的举一反三与合纵连横；也要培养学生发散思维能力，形成探究意识。与其让学生疲于应付大容量“一招一式”的简单模仿与高密度“一题一法”的重复训练，窒息其智慧，不如选择一道好题，通过深入研究，积累数学经验，激发兴趣，启迪思维，引导思想。若对经典例题充分进行挖掘，注重培养探索“一题多解”的习惯，不但可以促进学生理解和掌握显性知识之间的内在联系，使学生灵活运用多方面的知识，还可以挖掘其中隐性的思想方法，完善数学认知结构，激发探求欲望，提高创新能力；而且能让教师对习题的研究更加深入，有利于自己的课堂由解题向积累转变，由巩固向探究转变，也有利于增加教与学的透明度，使教师更加准确地把握教学目标和要求，发现学生运用与联系知识的不足之处，让学生的数学思维能力得到质的提高，实现教学相长；也同时帮助深刻理解学生知识的系统性、特殊性和广泛性，从而使学生开拓知识视野，逐步将学生引入胜境。
总之，数学教学中，过程往往比结果更美丽，我们不要为了赶路而忘了欣赏沿途的风景。如果习题教学是教师“无私奉献”的垄断，或是个别学生“繁荣活跃”的表演，这样大多数学生只能“懂而不会”，达不到闻一知十的效果。只有教学过程是一个探究发现的过程，才能见微知著，才会更富有乐趣。
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