高中数学：均值定理的“凑”与“配”

不等式中的均值定理一直是高中数学的重点内容，同时也是高考的重点和热点，也是解决很多问题的重要工具，应用均值定理的前提是满足“一正、二定、三相等”，不过很多时候，题目的条件不满足这一条件，这时就需要适当的“凑”与“配”，下面结合具体例子予以说明。

 

一、凑“正”

例1. 求的值域。

解：将变形为后可用基本不等式，但不清楚是否为正，因此需要讨论。

由已知得。

（1）若，则，故，当且仅当，即时，取等号。

（2）若，则，故

。

∴，当且仅当，即时，取等号。

因此，由（1）、（2）可知的值域为。

本题说明“各项为正”这一条件的重要性，当不确定时应进行分类讨论。

 

二、凑、配“定值”

1. “凑”和为定值

例2. 设一个圆柱的轴截面周长为l，求其侧面积的最大值。

解：设圆柱底面半径为r，高为h，侧面积为S，满足。

。

当且仅当，即时，S有最大值。

对已知式子进行恰当的“凑”与“配”，再利用基本不等式求最值，这种技巧经常被使用。

2. “配”积为定值

例3. 已知，，且，求的最小值。

解：∵，

∴。

∵，，

∴。

当且仅当，即时，取等号。

解得当，时，取得最小值为16。

 

三、凑“相等”

例4. 求函数的最小值。

解：。

设，则，此时原式可化为。

∵，

∴。

∴。

当且仅当，即，时取等号，此时，解得。

∴。

此题是通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式，注意换元后，若对直接利用均值定理，则需满足，即或，而在时，无法达到，因此需要凑配“相等”以及积为定值，方可利用均值定理。

▍ 来源：综合网络