阿氏圆应用方法、题目汇总（阿波罗尼斯圆）

本文收录于：公众号底部菜单

    说起阿氏圆，很多老师都不陌生了，之前写过一些文，画过一些图，录过一些视频，今天就来汇总一下阿氏圆的应用题型！

    我们还是先从新介绍一下阿氏圆，全称阿波罗尼斯圆，首先要有一个线段，端点为AB，到AB两点的距离之比为定值（不为1，为1那不就是中垂线吗）的所有点组成阿氏圆，这个轨迹最先由阿波罗尼斯发现故名之。

看下图：

    下文为方便称呼，称AB这样的线段为阿圆的线段，称圆为线段的阿圆

    这个圆就是到AB距离比值为1:2的阿圆，用初中的知识解释就是存在恒成立的子母性相似！

注意小细节：

1.阿圆圆心与AB共线

2.到哪个点近，阿圆圆心就在哪一侧,

3.圆心绝不会在线段AB内

（往期精彩点击）

（交互式）阿圆子母相似模型

     记住子母相似的独特线段比值，共有线段平方等于另两线段积。

    既然比值为定值，因此阿圆在问题中最常用到的就是转化线段（倍数关系）。

    除了倍数关系之外，阿圆还有一个不太为人知的性质，恒有角平分线EF。

这一点可以通过第二性质的逆证明！

    刚说了阿圆最长用于，线段转化（倍数）。学习任何模型，首先我们要学会识别模型，也就是这个模型有什么特点，阿圆问题（转化线段类）的特点：

    1.题中有一个圆（就是阿圆），圆上有一个动点

    2.此动点到两个点的距离，其中一段加权（加系数）

    3. 被转化的线段的端点（非动点），就是阿圆线段的一个端点，关键就是找到阿圆线段的另一个端点。即可完成转化。

    一般这样的题就是用阿圆做，阿圆做不了基本初中也就没法做了！

    当然两个线段都有系数，是可以转化为仅一个带系数的。一个带系数也可以转化为另一个带系数的。方法就是提公因式法，提系数。

应用题一：

本题还有一种方法：

（往期精彩）

加权的线段差最值问题

看题：

    这题就是加权线段差，熟悉最值问题其实思路不难想，我们之前做过加权线段和的几个模型：

（点击下面查看）

胡不归（乌鸦坐飞机）问题与折射原理光行最速。

阿波罗尼斯圆介绍以及与角平分线

交互式探究！动图图解三角形费马点加权费马点问题

费马点/胡不归？都可以做的一道题

    加权线段和一般有胡不归（三角比转化系数），阿氏圆（相似转化系数），加权费马点（固定三角形转化系数）。所以基本就是这几种转化方向！先看方法一，图里有圆，自然联想阿氏圆!!  使用阿氏圆转化比值：

方法一：

    想办法让这个圆成为阿氏圆，以圆心为顶点构造子母相似即可！

   EA中点为F，蓝蓝相似， 这样构造圆就是线段FB的阿氏圆，圆上任意一点到FB距离比为1:2.

 

再构造一个：

    AG=二分之根2，红红相似，圆就是CG的阿氏圆，圆上任意一点到CG的距离比都是？？？

然后线段都转化到了PG,PF，利用三边关系，共线得最大值！

应用题二：

    系数在PD，但是不一定必须转化PD，因为转化出根2 PD需要找到一点E，P到点E距离是到D距离的根2倍，也就是动点到D近一些,到E远一些，看图中的圆的位置这是不可能的！

    那就转化PC，要找到阿圆线段的另一个端点一定在OC上，该点命名为M,则OM方=OP乘OC，易得OM长，M的位置确定了，剩下就好说了！

应用题3：

    有了前两题的铺垫，这题就不细说了，大家自己试试吧！

就直接转化PB：

应用题四：

这是一个证明，也算一个模型：

也就是产生了阿圆，利用了角平分线的结论

    这个模型怎么记呢，就是，圆中做任意弦，做其垂径，过弦端点切线，切线与径交点，这个交点和垂径垂足连成此圆的阿圆线段。（看关键词）

应用题五：

    这是2017哈尔滨中考真题：

（点击详情）

中考真的不考阿波罗尼奥斯圆吗？2017哈中考题26，隐形的阿氏圆

    只看第三问，隐隐的用到阿圆，也可以不用，正式考试超纲知识不会直接考但是可以架梯子，含沙射影的考。

    求MP：MQ，又知道MQ=6DP，那MP：MQ=MP：6DP，只需求出MP：DP即可。

这模型像不像刚才的应用题四？

显然就是！

PM：PD=阿圆比值=BM：BD

应用题六：

    前边都是有圆的题目，其实没有圆也有机会用到阿圆。 

这个找角平分线就是利用阿圆的平分线性质！

点D怎么来的，也是通过计算得到的：

利用侧边的相似比，计算方法不唯一哦!

应用题七：

    这题也是没出现圆，而是阿圆的特例

（精彩点击）

圆的各种进阶模型，肯定有你没听说过的。

相似三角形的经典模型上

相似经典模型下，多图慎入（稀奇古怪）

    如下图，求角GDE。（是一道哈题稍微改了改，原题的x是18度）

    这种问法显然，根据条件里没有角度，只能是瞎猜，所求的角一定是跟已知角存在等量关系，这道题就是相等。

    如图可看出，三个标出的角度相等。

    怎么证明呢。这里用到相似，因为相似有对应角相等。而且是利用相似倒相似（其实就是用已知的相似比倒相似比），不是 常见的凑角条件。

    由双垂模型得一个相似。

    再用这组相似比倒比，结合两个中点的定义，则得到下面的相似。怎么倒呢？（略）

    由这组相似得角相等，得AG垂直BE。

    由这个新 的垂直可得又一个双垂模型，得如下图相似。

        接下来就是利用阿圆特例，中点子母连环双相似模型。原来（几何模型第十九期）是画过的。如下图。两边的相似可以互推。

点击查看完整相似模型：相似经典（稀奇古怪）模型下，多图慎入

    注意两边相似都是以中点为公共角顶点的子母型相似。

    其实这个模型是阿圆的一个特例，中点D就是阿圆的圆心，AE为对应线段，EC/AC=EB/AB.

    把这个模型弄明白之后就易得：新相似如下图

    这样一来三个三角形相似，三个对应角自然相等了？如下图：