数学训练我们真正的目的——不是什么计算能力，而是数学思维

一 数学启蒙之目的：

1、不是为了让孩子学一点数学知识；2、也不是为了提高孩子的应用能力；3、主要是为了提升孩子的抽象思维能力，及发现能力，及短期记忆能力。

如何理解数学启蒙目的呢？下面进一步展开一下：

1、不是为了让孩子学一点数学知识

启蒙孩子数学不是为了让孩子学一点数学知识，如果家长对这个意识不清晰的话，就会在启蒙孩子时认为教孩子知识越多越好，其实是教的知识越少越好，而不是越多越好。因为教的越少，留给孩子思考的空间也就越大，教的越少也就更容易把知识更趣味化，而教的越多就会冲淡趣味，或容易产生趣味疲劳。教的越少，就相当于给孩子只打开一扇窗，窗外的东西让孩子自己看及自己思考，也附带着可以大大刺激了孩子的自学意念。

2、也不是为了提高孩子的应用能力

有很多家长在教孩子加减乘除时，都会不自觉的或会想当然的出些习题让孩子做，或联系一些日常生活中的事情来让孩子运用加减乘除法解决，他们目的是为了提高孩子的应用能力。

这样的启蒙目的虽然算不上是很坏，但也算不上是很好，多少与应试教育有点呼应，对孩子的抽象思维能力的提升不会很大，家长并没有很好的理解“启蒙”二字的更大内涵作用。如果应用能力的提升不用放在“启蒙”里，学校的教育也会教孩子的，所以在启蒙时可以把应用这块全部忽略掉，或大部忽略掉会更好，否则，反而很大程度上分散或转移了孩子应该提升的抽象思维，并使得孩子在数学方面的发现能力得不到很好的开启（发现能力是远远在创造能力之上的一种能力），发现能力得不到很好的开启是启蒙最大的失败或可惜之处。

如果启蒙以应用能力为主，同时也会使孩子的短期记忆能力得不到更进一步的开启，从而也错失了最佳启蒙期（12岁以前），这些都是以提升应用能力为主所带来的负面作用。而这些负面作用，很多家长是意识不到的，意识不到的原因是很多家长把应用能力与抽象思维能力混为一谈了。

应用能力的提升有两个很明显的“作用”，一个是附带提高了孩子自学能力，另外一个是孩子考试可以考高分。但如果不以提升应用能力为目的，而主要以提升抽象思维为目的，也会存在附带提升了孩子自学能力的作用，但孩子考试不一定能考出很好的分数，这也就自然会让很多家长在启蒙孩子时，热衷于提升孩子的应用能力。

但孩子即使考了高分，如果再走下去就可能会有点吃力，孩子越往高处走，就越需要很好的抽象思维做重要保障，而非应用能力。提升抽象思维能力附带着来的发现能力其意义也远远大于应用能力，这个有点类似于一个熟练操作工和一个设计师，他们在生产方面各自所发挥的作用之间的比较。

3、主要是为了提升孩子的抽象思维能力，及发现能力，及短期记忆能力

记忆分为长期记忆和短期记忆，长期记忆的容量在现实意义上是无穷大，几乎每个人都差不多，具体大小靠的是勤奋努力，而短期记忆每个人都不一样，差别很大，这正是在启蒙孩子时要考虑进去的非常重要的一项。

总之，家长的数学启蒙的理念和目的，是直接决定孩子的数学能否被启蒙的很好的两个最关键的因素。

二 莱昂哈德·欧拉，是我最喜欢的数学家之一。

过去我的大脑经常会跑到三百多年以前的欧洲，我经常会想象欧拉的爸爸他用了什么样的密招去启蒙欧拉数学的。为此我做过很多的假想，但随后大部分假想我都否定了。

有人说天才的大脑与众不同，像这样的假想早就被否定了。比如，科学研究发现被保留下来的爱因斯坦的大脑并没有什么与众不同。

还有上个世纪有位大富豪花巨资在全球征集诺贝尔奖得主的精子，几十年后发现用那些精子生出来的孩子在长大后并没有什么过人之处。

既然不存在先天的原因，那为什么世上的“欧拉”却少之又少，只能是因为后天的启蒙所致了。启蒙一定存在所谓的“密招”，密招的特点一定又是与众不同的，不然就无法解释那个“少之又少”，与众不同才导致了少之又少。

有密招的启蒙不了解时，可以先分析一下那些“众同”的启蒙。

大部分家长启蒙孩子数学都几乎雷同，讲加减乘除法时首先讲其意义，为了让孩子理解，就会举例子，比如加法就是2个苹果加3个苹果等于5个苹果，减法就是5个苹果去掉2个苹果还剩下3个苹果，讲乘法时也会这么举例子，一排有5个苹果，6排有多少个苹果。等孩子理解了加减乘除的意义后，再出一些比较复杂一点的贴近日常生活的应用题让孩子去解决，锻炼孩子的应用能力。再往后小数分数方程的启蒙大抵也如此，让孩子理解其意义，然后再做些应用题。

这样的“众同”的启蒙，显然不是与众不同的，欧拉的爸爸一定不是这么启蒙欧拉的。

但不这样启蒙又该如何启蒙呢？过去我一直在想。

一直等到我开始启蒙我的孩子数学时，我才恍然大悟，一个与众不同的启蒙出现在我头脑之中，就是讲加减乘除法时完全可以不用讲其意义，也完全可以不用讲应用部分。

那讲什么呢？答案是，什么也不讲。不讲怎么能行呢？事实证明还就是行了。

比如意义，我没有讲，我的孩子无师自通了。再比如应用，我没讲，但经过检测他也无师自通了。

万物都是相通的，其实数学和外语在实质上有不少类似之处，而我们总喜欢把它们对立起来。外语讲究学一句话时不要问“为什么”，这句话就是这么说的。其实数学也如此，不要问为什么，2+3=5就是这么规定的，不要再拿什么苹果蛋糕等去解释，反而破坏了孩子的纯抽象思维。

孩子一开始不理解其意义，并不代表以后也不理解其意义，而往往家长们一发现孩子不理解，就着急担心。启蒙孩子时一定要注意，往往发现问题的时候不是解决问题的最佳时候，要给孩子留下足够的自悟自通时间。你只要相信孩子，孩子就一定会给你奇迹。

什么都不给孩子讲，并不代表闲着，可以给孩子出题，一点点一步步加大难度的纯抽象思维题，这才是启蒙的目的，让孩子不把注意力集中在意义及应用能力的提升上，而是引导孩子向纯抽象思维世界的深处进军，使得孩子的抽象思维能力得到最佳开发，而开发出来的能力将在孩子后来的进一步学习中发挥巨大作用。

出什么样的题？比如讲乘法时，可以一步步的出到六位数乘以六位数，并且是随机出的，这样就不会用到任何技巧，并且要求要心算。这样启蒙，孩子能行吗？一定能行，因为你没有尝试，所以你不知道，所以你只会想当然以为不行。我是实践了，我是相信的（我的孩子就是这样硬碰硬可以心算六位数乘以六位数）。

我想欧拉的爸爸怎么启蒙欧拉数学的，极可能与我暗合了。我以前总是惊叹欧拉能心算前100位素数的前六次幂，今天我才明白，如果不用与众不同的启蒙，那么孩子也就与众同了。如果那些与众同的孩子当初被用了与众不同的启蒙，那么那些与众同的孩子也就会与众不同了。

人类用了上万年时间发明了加减乘除法，而我们却用它来做应用题？！

加减乘除法不是用来仅仅提高孩子的应用能力的，更大的作用是在孩子的最佳启蒙期里，用来大大的提升孩子的纯抽象思维能力，及一定会附带而来的很好的发现能力和短期记忆能力，而这三力的任何一力的重要性都远远超过了应用能力。 这也是数学启蒙的目的。

（4~12岁是最佳启蒙期，12~18岁是最佳发展期，20~40岁是最佳出成果期。如果错失了最佳启蒙期，那么就会直接影响到后面两期）

三 千里马常有而伯乐不常有，一点不错，我认为每个孩子天生都具有强大的潜能，都是一匹潜在的千里马，而遗憾的是我们每个家长却不都是伯乐，不都是很懂得如何启蒙孩子，以致孩子的很多潜能几乎出不来。

很多家长在启蒙孩子时，对“潜能”思考并不深也并不多，所以启蒙的目的也就出现了很大的问题。

有些家长也认为启蒙孩子数学的目的不是仅仅教孩子一点数学知识，而是提升孩子的抽象思维能力。所以这些家长在教会孩子加减乘除法后，就会让孩子运用加减乘除法来解决一些实际问题。

但这些家长并没有意识到，解决实际问题的应用能力，占抽象思维能力的比重并不大，孩子的更大的抽象思维潜力却并没有被开启。比如，从九九表开始，不要停，继续一步步往前推进，就是二位数乘以二位数，三位数乘以三位数，以致到六位数乘以六位数（让孩子心算效果会更好），通过这样的启迪，孩子被启迪出来的抽象思维能力，要远远超过通过让孩子实际运用启迪出来的抽象思维能力。

可能有些家长会认为：

1、孩子心算多位数乘以多位数没有什么实际意义，也就是没有什么用。

2、孩子也未必有那个能力能计算那么大的数。

3、数学不是计算，数学更注重的是思维和理解。

第1、2两点，那些家长是对计算误解了，对第3点，那些家长是对数学曲解了。如果对第1、2点不误解，也就不存在第3点的曲解。

心算多位数乘以多位数，不是简单的计算，这种复杂的计算，比解决实际问题的难度大很多倍不说，孩子必须要具备超强的短期记忆能力，所以在心算的同时，短期记忆能力也得到提升。

家长总会希望孩子以后学习或工作要努力要勤奋，而长期记忆就是靠勤奋得来的。短期记忆能力又直接影响到长期记忆，也就是说短期记忆能力决定了勤奋效率的高低。从心算到短期记忆能力到长期记忆再到勤奋，怎么能说心算怎么会没有用呢？

这里的心算，不是珠心算，是随机的硬碰硬的没有任何技巧的纯心算。我在以前讲过，家长启蒙孩子乘法时不要讲其意义及应用，这个留给孩子自悟自通。另外还包括不要讲竖式，没有竖式？孩子怎么心算乘法？可能你会问。其实孩子会自悟，孩子有孩子的办法，不一定就是大人想当然的竖式办法。

可能我们大人很少会去思考乘法竖式是谁发明的，如果不用乘法竖式，乘法该怎么去做。思考这个问题是不是很无聊？

那我通过我的实践告诉你，这个问题一点都不无聊，如果你在教孩子乘法时，不教孩子乘法竖式，又让孩子去做多位数乘以多位数，孩子是会心算的（你可以先从最简单的2位数乘以1位数开始，这样孩子才会逐步深入到多位数乘以多位数），孩子用的不是乘法竖式，而是从高位到低位的计算模式。

只要科学的循序渐进，孩子都可以心算大数的，孩子都有这个潜能。

至于很多的归类归纳，孩子都会自己进行的，比如二项式定理孩子都会无师自通，自己总结出来。

没错，数学不是计算，数学更注重思维和理解，但计算（心算）正是提升思维的，而理解，越是以后，越是需要抽象的理解。而心算大大开启和提升了孩子纯抽象思维能力。

这种纯抽象思维能力的提升，在以后方程函数微积分，直至数论及抽象数学等等以后很多的数学分支，及理工科的其他学科里都将会发挥巨大作用的，甚至这种从小就被开启出来的几乎过目不忘的能力（短期记忆能力）对文科作用也是巨大的。

其实也不用说那么远，现在就有很多家长整天叫苦，说快被折磨死了，因为每天都要陪孩子写作业。我想那些家长之所以现在会这样，可能就是他们以前对启蒙孩子的目的理解不是很到位所致（起码数学是这样的）。

四 我启蒙我孩子数学的目的，不是为了教他一点点数学知识，而是要开启和提升他的纯抽象思维能力。而在他的纯抽象思维能力提升的同时，他的发现能力和短期记忆能力也会附带着自然而然得到提升。

我的眼前这些心算题，仿佛都变成了一堆堆熊熊燃烧的炉火，我已经看到了“青出于蓝而胜于蓝”

比如在启蒙乘法时，我主要是通过每周出一道到二道多位数的平方题让我孩子快速心算（见上图），来提升孩子的纯抽象思维能力。

我每次看到孩子把心算结果快速正确无误的做出来时，我都会忍不住给他批上个“so good”，因为我眼前的那些心算题，仿佛都变成了一堆堆熊熊燃烧的炉火，我已经看到了“青出于蓝而胜于蓝”，这才是我启蒙的目的。

加减乘除法，即使我现在不教孩子，孩子以后也会会的。

如果启蒙孩子的目的，是为了让孩子增长知识，那么孩子的知识增多到超过我，就需要很长的一段时间，需要很多很多年。

但如果启蒙孩子的目的，是为了让孩子的某些抽象思维能力超过我，那么很快就可以通过启蒙办到。

为什么在孩子的启蒙阶段，我不是很赞成很多家长这样的做法，就是通过让孩子运用加减乘除法去解决实际问题来提升孩子的抽象思维能力？原因有如下3点：

1、孩子在很多方面都具有很多的潜能，比如在音乐方面，围棋方面，数学方面等等。而这些很多的潜能是随着孩子的年龄而递减的，这就是著名的潜能递减法则。所以启蒙孩子，让孩子的潜能得到开启和提升，是有一个最佳启蒙期的，一旦错失了就无法逆转。这种潜能与知识不同，知识恰恰相反，是随着年龄的增长而增加的。这也就是为什么我启蒙出来的孩子他会立刻在纯抽象思维能力方面就超过了我，虽然孩子的知识还没有超过我。

2、实际应用能力也会随年龄的增长而增强，故算不上是潜能方面的东西，早期的实际应用能力只沾了纯抽象思维能力的一点点边而已。

3、实际应用能力是离不开纯抽象思维能力这个强有力的工具，纯抽象思维能力远远在实际应用能力之上，也是应用能力发展的瓶颈。

联系到目前的一些教改，很多家长都认为“孩子得语文者得天下”。而我不敢完全苟同，如果仅仅从大部分孩子的角度出发，这句话是有一定的道理的，因为大部分孩子长大后都会从事应用类的工作。但就一个国家来说，这样就很短视了，一二百年以前，我们的国家就是因为科学的落后被人家撬开了国门。数学作为所有科学的工具，其重要性不言而喻，虽然它看起来没有那么实用，但正是这个看起来不那么实用的东西将最终决定一个国家的未来。所以我认为如果有“孩子得语文者得天下”，那么就有“国家得数学者得宇宙”。

启蒙孩子数学的目的要放长远些，这样就会看得更加清楚了。

五 目前孩子的家庭教育受到了前所未有的重视，但大部分家长都把关注力放在了孩子的兴趣班上，比如音乐、绘画、舞蹈、围棋等等，在学习方面的启蒙上，家长也都把关注度放在语文或外语上，比如亲子阅读，外语听说等，其实这些都很好。

但，对孩子数学的启蒙，很多家长并不关注或关注了又不是很用心，这就有点不太好了。万物都有联系，启蒙好数学，对其他也会有帮助的。

很多家长之所以会那样，原因就是他们以为小学的数学很简单，无非就是加减乘除，稍微启蒙一下，孩子也就会了。甚至有些家长还说，小学数学好，就未必上了初中会好；初中数学好，就未必上了高中会好。

都说家长的认知是天花板，家长的高度决定了孩子的起点，说的一点没错。

很多家长都存在对数学启蒙的认知不足，也就使得他们在数学启蒙的目的上存在不少问题。

根据启蒙的目的不同，“很多家长”大致可以分为三类，下面分别展开一下，看看他们的启蒙会结果如何。

第一类家长，他们启蒙孩子数学，也仅仅是启蒙了孩子一点点数学知识而已，其实这样的启蒙与不启蒙并不没有实质性的区别。知识是学不完的，即使现在不启蒙，比如加减法，孩子以后也会会的，可以在学校里学。

第二类家长，他们启蒙孩子数学时，不仅仅启蒙了孩子一点点数学知识，还同时引导孩子运用学会的加减乘除法去解决一些生活中的实际问题。这确实锻炼了孩子的实际应用能力，同时也提升了孩子一点点抽象思维能力。

但仅仅这样启蒙，也不是很好的。这样启蒙确实可以让孩子在小学数学成绩很好，但孩子在纯抽象思维方面的更多的潜能的开启和提升也就被错失了，而根据潜能递减法则，错失了也就错失，几乎是无法逆转的（关于如何开发纯抽象思维，见前文）。

由于纯抽象思维能力没有得到最佳开发，这样孩子在小学数学成绩好，上了初中也或许会好，上了高中也或许会好，甚至上了大学也或许会好，但再往后研究阶段是不可能有什么太大突破的，因为最终会被纯抽象思维能力不是很好而卡住的，以前小学、中学、大学没有被卡住，是因为考试的考题大都是应试制度下的一些应用类的题目，对纯抽象思维能力要求并不是那么高，所以出现了成绩会很好的现象。

第三类家长，实质与第二类家长是一样的，只是在启蒙的量上加大了。这类家长的孩子在小学中学，甚至大学都一直成绩非常好，被誉为“学霸”；甚至还有个别的孩子，小学时就已经结束了中学课程，十二、三岁时就上大学了，这样的个别孩子被誉为“神童”。但世人却往往惊讶的发现，那些当年的学霸或神童，最终却没有几个有什么大成就的，原因何在？原因就在于他们虽然应试能力强，但他们小时候的纯抽象思维潜能并没有被最佳开启和最佳提升，这最终成为他们后来发展的瓶颈。

再谈谈第二类家长，因为第二类家长占的比例最大，大部分家长都属于第二类家长。他们的数学启蒙存在的问题在孩子上小学中学时就暴露无疑了，说白了，他们的启蒙只不过是把孩子早点拖入了应试教育而已。那些整天喊累、整天被折磨得要命、整天叫唤都要陪孩子写作业的家长，基本都是这第二类家长。

第二类家长即使不想让孩子以后有什么大成就也没关系，错失了开启孩子纯抽象思维潜能也没有什么大不了的，因为大部分人以后从事的工作都属于应用类的工作，任何工作都是平等的，幸福是来自于内心的。

因为知识和应用能力，是随孩子年龄的增长而增加的，所以第二类家长平时可以不用过分急，不用过分纠结，不要太逼孩子，要给孩子一定的时间来成长（这也就是为什么偶尔会出现这样的现象：特别是第二类家长中的有的孩子小学数学不是很好，反而初中很好了；初中不是很好，反而高中很好了），只要相信孩子，孩子会给你奇迹的。

关于如何启蒙孩子的数学，目前很多争论往往都是在第一类家长、第二类家长、第三类家长之间的争论。而这三类家长却统统没有意识到孩子的纯抽象思维潜能的重要性，也就意识不到开启和提升孩子的纯抽象思维才是启蒙孩子数学的最重要目的。

六 第75讲在讲到数学启蒙的目的时，讲到“万物都有联系，启蒙好数学，对其他也会有帮助的”。下面就展开一下这句话的内涵。

启蒙好数学，主要是启蒙好孩子的纯抽象思维能力，孩子的纯抽象思维能力提升了，同时孩子的发现能力和短期记忆能力也会附带着提升（见第77讲）。纯抽象思维是一种潜能，每个孩子都有的，但如果错失了最佳启蒙期，那么根据潜能递减法则，错失了也就错失了，几乎无法逆转。

如果孩子的纯抽象思维潜能，在孩子的最佳启蒙期得到最佳启蒙，那么孩子的短期记忆能力也会得到最佳开发，就等于孩子拥有了几乎过目不忘的能力。而这种几乎过目不忘的能力，对孩子的其他方面帮助都会很大的。比如在孩子的兴趣像音乐绘画围棋等方面，都会有很大的帮助。在孩子语文或外语等方面的学习，帮助也就更大了，孩子听过的、读过的几乎都会过目不忘。

（PS：从时间上划分，记忆分为长期记忆和短期记忆。从记忆对象上划分，短期记忆又划分为有意识记忆和无意识记忆，比如平时所说的“死记硬背”就属于有意识记忆，有意识记忆有其很不好的一面，有时也有好的一面，数学启蒙提升孩子纯抽象思维的同时，锻炼出来的短期记忆能力是属于通过无意识记忆而锻炼出来的能力，而通过无意识记忆锻炼出来的短期记忆能力能更好的用在有意识记忆中。这就是为什么启蒙好数学对其他帮助也很大的原因。当然短期记忆能力，也可以通过除了数学外的其他方面锻炼，但启蒙数学的目的不是为了锻炼短期记忆能力，而是为了开启和提升纯抽象思维的。）

而目前大部分家长，对孩子数学的启蒙并是不很关注，或关注了又不是很用心。因为很多家长都把关注力放在了孩子的兴趣班上，比如音乐、绘画、舞蹈、围棋等等。在学习方面的启蒙上，家长也都把关注度放在语文或外语上，比如亲子阅读，外语听说等。

很多家长认为小学数学很简单，无非就是加减乘除，所以也没啥好启蒙的，随便教教就可以了，关键还是培养孩子其他兴趣很重要，孩子小，玩是天性，应该让孩子多玩，培养孩子兴趣也可以让孩子尽情的玩。

很多家长还认为如果要启蒙孩子学习，也是重点要启蒙孩子的语文，因为孩子的形象思维好，抽象思维不好，如果语文启蒙好了，孩子在思考理解方面就会很好，这样反而会对孩子以后的数学有很大帮助。

其实很多家长都没有意识到启蒙好孩子数学，也会对其他方面帮助很大。孩子上兴趣班一开始是很有兴趣，也很玩，但一直上下去的话，不少孩子或家长就会感觉到很累了，也不是那么单纯的好玩了，而是需要认真的学，学好兴趣课也不是那么容易的，也需要很多能力的（启蒙好数学使孩子的能力提升也会间接的帮助到孩子的兴趣课方面）。

而启蒙好孩子语文，孩子的阅读思考理解能力是会提高，确实也会对孩子以后的数学有帮助，但只能帮助孩子提高数学的应用能力，而对孩子的纯抽象思维能力的提升是帮助不了的，而最终决定孩子数学好或不好，及应用能力的发挥，都会受到纯抽象思维能力大小的制约。所以启蒙好孩子语文不但不能代替启蒙好孩子数学，反而是在孩子的数学方面只捡到了一粒芝麻，却丢掉了一只大西瓜。

正确的做法是，孩子的语文需要启蒙，数学也需要启蒙。语文和数学是互相帮助的，不仅仅语文可以帮助数学，数学也可以帮助语文的。但，谁都不可能替代谁，否则就会丢失大矣。

（也就是说短期记忆能力或其他方面的能力等能互相跨域的能力，在跨域后所达到的效果和帮助再大也是有限的，在启蒙上都无法实现谁替代谁。但我们家长最好能够了解主要有哪些能互相跨域的能力及其跨域后助力的大小，这样在启蒙孩子时才能有更好的认知，少些想当然。）

启蒙好数学，也要启蒙好其他的，这样数学会更好。但家长无论启蒙孩子什么，一定要对启蒙的目的清晰。启蒙孩子数学的目的，关键是启蒙好孩子的纯抽象思维。

七 启蒙孩子数学的目的，关键是启蒙孩子的纯抽象思维。

纯抽象思维是孩子的一个潜能，按潜能递减法则，启蒙是有一个最佳启蒙期（4~12岁）。

如果错失了最佳启蒙期，也就错失了，几乎是无法逆转的，孩子的纯抽象思维能力在其长大后就会很一般。

如果在最佳启迪期受到了最佳启蒙，那么孩子的纯抽象思维能力在其长大将会非常厉害。到底多么有厉害呢？远远超乎了我们常人的想象。

请先看看下面这道数学应用题：

两列火车相隔200公里，各以每小时50千米的速度相向而行。一只苍蝇从其中一列前端出发，以每小时75千米的速度，在两列车之间来来回回飞个不停，问：直到两车相撞，苍蝇飞过的总距离是多少?

其实这道题目一点都不难，估计大部分小学生都能解答出来。解答的思路就是：两车的相对速度是50+50=100千米/小时，那么相向而行的时间为200/100=2小时，这也是苍蝇飞过的总时间，那么苍蝇飞过的总距离为75*2=150千米。

但，一个年轻人在一次晚宴上，碰到大数学家冯·诺依曼，就问了他上面的那道数学应用题。

冯·诺依曼沉吟了几秒后回答：“哦，应该是150千米。”

那个年轻人很是震撼，心想冯老师果然很牛，于是就拍起了马屁，说：“绝大多数数学家总是忘掉了能解决这个问题的简单方法，而去采用无穷级数求和的复杂方法。”

而这时，冯·诺伊曼却面露惊奇，说：“我用的就是无穷级数求和的方法呀。”

像冯·诺依曼这样的纯抽象思维能力，历史上还有很多，比如欧拉就可以心算前100位素数的前六次幂（其中第100位的素数是541，541的的三次方等于158340421，541的六次幂就是158340421再乘以158340421）。

而他们的纯抽象思维能力，都已经远远超乎我们常人的想象。

但，这种看似超人的纯抽象思维能力不是天生的，而是在最佳启蒙期里启蒙出来的。

而目前很多家长，甚至也包括一些启蒙机构，并没有意识到“纯抽象思维是孩子的一个潜能”，也没有意识到“启蒙孩子数学的目的，关键是启蒙孩子的纯抽象思维”。

所以他们在启蒙孩子数学时，总强调孩子的抽象思维不好而形象思维好，所以总拿一些形象的东西（比如五颜六色的卡片及绘本）来让帮助孩子理解抽象的东西，总会用一些现实生活中的例子来解说抽象的东西。

打个不恰当的比方，上面那种启蒙方法比方好像在学习外语时，用汉字来标注外语单词的发音，孩子好记是好记了，但发音会不准；又比方好像每说一句英语时都要和孩子翻译成汉语，孩子理解是理解了，但英语思维却不能很好的形成。同理用那种启蒙数学的方法，孩子是可以快理解，也可以提升应用能力，但同时孩子的纯抽象思维也就错失了很好的开启和提升的最佳机会了。

很多家长或有些启蒙机构又在孩子理解了抽象思维后，就开始让孩子解决实际问题来锻炼孩子的应用能力（其中奥数最典型，从小学三年级就有奥数培训班）。孩子的应用能力是提高了，但却大大忽略了启迪孩子的纯抽象思维潜能，这最终将限制孩子的应用能力。

启蒙阶段，没有任何技巧的硬碰硬的心算是最能锻炼孩子的纯抽象思维，而很多家长或启蒙机构在启蒙孩子心算，却过早的引入了一些心算技巧，比如心珠算等（心珠算是可以提高孩子的动眼、动手及应用能力），那是得不偿失的，因为也大大抹杀了孩子纯抽象思维潜能。

八 关于启蒙数学的目的，已经讲了很多讲了，其中反复提到过“目前有很多家长，并没有意识到启蒙孩子数学的目的关键是启蒙孩子的纯抽象思维，而不是启蒙数学知识或数学技巧。

但为什么很多家长在启蒙孩子数学时，没有意识到这个关键点呢？

因为我们大部分家长从小到大都是在应试教育制度下接受数学教育的，长期以来脑子里就形成了这样的不完全正确的观点：数学是一门工具，主要是为了应用，所以应用能力非常重要，锻炼抽象思维最好在应用中去锻炼，而通过应用锻炼出来的抽象思维又是为了再应用。

真正正确的观点是：数学不仅仅是一门工具，也不仅仅是为了应用，应用能力是很重要，但对数学来说不是最重要的，抽象思维是可以在应用中得到锻炼，但却不是最好的锻炼方式，在孩子的启蒙阶段，恰恰是很不好的锻炼方式，因为它把抽象思维引入到了不是抽象思维领悟，其实是一种干扰，启蒙阶段，抽象思维最好是在纯数学领悟内进行锻炼，才是最佳的锻炼方式，这样锻炼出来的抽象思维才会是更厉害的，而锻炼出来的抽象思维再应用到应用领悟，抽象思维得到进一步的巩固，但对纯抽象思维本身并不会有什么太大的提升，只是大大的提升了应用能力而已，所以纯抽象思维能力的意义远远大于应用能力的意义，应用能力的大小最终取决于纯抽象思维能力的大小。

应试教育制度不可以全盘否定，在没有更好的代替制度之下，它还是很好的。

但我们一定也要看到应试教育制度的弊端，只有这样，我们才可能更好的用家庭教育或其他教育来弥补学校教育。应试教育制度的弊端就是，谁的应用能力强，谁就可以考高分，因为数学试卷中大部分综合题都是应用类型的综合题，最后几道应用类型的综合题也是拉分题或压轴题，而很少见到有纯抽象类型的综合题。

如果在最佳启蒙期错失了纯抽象思维的最佳启蒙，那么孩子的纯抽象思维能力就会很一般，以后无论怎么努力勤奋，无论刷多少题目，效率都不会高到哪里去，甚至很多学生都不能坚持下来，而能坚持下来的学生得到提升的也是应用能力，而不是纯抽象思维能力，纯抽象思维能力得到的提升是很少的，不过如果是为了应试，为了考高分，为了考好学校，也只有这样，这样了也会取得好成绩的，但代价却是很大的。

数学很美，美就美在它的抽象上，数学不仅仅是一门工具，数学分为纯数学和应用数学，而我们大部分人学了一辈子的数学，其实纯数学知识并没有学到多少，只是学了一点应用数学而已，而全部所学的数学，也仅仅是几百年前的一些数学知识，而所学的这点数学知识除了考试用到之外，在工作生活中实际用到的那就更加少的微乎其微了，这就是很多人拿“用”来看所学数学的认知，这样的认知又怎么能启蒙好孩子数学呢？也就更无法认知到启蒙孩子数学是为了开启和提升孩子的纯抽象思维。

九 前段时间，有位家长想让我看看他孩子在数学方面是否真有天赋，那位家长说他孩子从小就很喜欢数学，他也常给孩子些启蒙，现在孩子上小学三年级了，数学成绩一直很好，另外孩子对奥数很感兴趣，所以他还给孩子报了奥数班。

我首先对那位家长说“世上哪里有什么天赋，天赋都是后天启蒙开发出来的，或熏陶出来的。”

接着我问了下那位家长他是如何启蒙孩子的，果不出我所料，他的启蒙方法和启蒙目的，与很多家长是一样的，就是把抽象的数学形象化。

而我认为那位家长那样的启蒙虽然便于孩子理解，但也同时大大抹杀掉了孩子的很多纯抽象思维潜能，虽然会暂时让孩子的应用能力得到很大提升，并会出现孩子数学成绩很好的现象，但这个“现象”注定将不会持续非常长的时间，因为孩子纯抽象思维能力不是很好将最终限制孩子的应用能力。

于是我把我的“认为”讲给那位家长听了，另外我又告诉那位家长，数学启蒙的目的，不是为了教孩子一点数学知识，也不是为了提高孩子一点应用能力，而是为了在孩子的最佳启蒙期里使孩子的纯抽象思维得到最佳开启和提升。

那位家长似乎没怎么明白我的意思，后来他把我邀到他家里去，我看了看他孩子的一张数学试卷后，指着其中一道要求用简单方法计算的计算题，对他孩子说“我再出一道类似的题目给你做，不过我要求是心算，好吗？”他孩子说好的，我就出了一道“59×61=？”没用多长时间，孩子很快就心算出来了，结果很正确。我问孩子“你心算的过程再告诉我一下好吗？”孩子告诉我后，我发现孩子用的方法是简单计算的方法。我又对孩子说“你再心算一道题57×64好吗？”孩子望着我，想了想，说好的，然后心算较长时间，把结果正确心算出来了，我问孩子为什么这次用的时间长了点？孩子答道“因为这道题没有很简单的计算方法。”

事后我单独对那位家长说“你孩子心算那道题的时间长了点，不是因为那道题没有很简单的计算方法，而是因为你孩子的纯抽象思维能力不够好，这才是真正的原因。所以我建议你最好暂时不要再让孩子上奥数班，我认为你孩子在奥数班学习的那些内容，无非就是把以后你孩子要学的一些内容给提前了，另外还有一些解题的技巧，这样你孩子上奥数班也就是多学了一点数学知识，提高了一点应用能力，而关键是你孩子的纯抽象思维能力并没有提升多少，要想大幅度开启和提升孩子的纯抽象思维能力，参加奥数班是不办不到的，在时间上，反而会错失了孩子的纯抽象思维潜能的最佳启蒙期，而一旦错失了就错失了，以后几乎是无法逆转的，因为潜能是随着孩子年龄的增长而递减的（潜能递减法则），而孩子的知识和应用能力不但不会错失，反而会随着孩子年龄的增长而增加和提高的，更关键的是，以后孩子数学知识增加和应用能力提高的效率的大小，还受孩子的纯抽象思维能力的大小影响最大。”

听我这么一说，那位家长好像恍然大悟了，他明白了自己启蒙孩子数学的目的上出现了很多问题，于是他又问了我一些关于如何开启和提升孩子纯抽象思维方面的具体办法。