二次函数“定轴动区间”下的最值问题探究

二次函数“定轴动区间”下的最值问题探究

随着越来越多的中考压轴题出现动态二次函数研究，动态解析抛物线产生的问题，便成为九年级复习备考的一个重要方面。动点、动点、动区间各类题型中，定轴动区间问题极为考验学生对二次函数理解深度。所谓定轴动区间，是指抛物线对称轴一定，而自变量取值范围是动态的，通常情况下会寻求最值，解决通法是分情况进行讨论，对称轴在区间内和区间外，再加上特殊情况。伍家岗区2019年秋季学期九年级数学期末考试第24题，便是典型的这类问题。

题目

已知点P为抛物线y1=x²+(2t-3)x+(t+1)顶点，点Q是直线y2=(2t-3)x+(t-t²)与y轴交点，t为常数，且-2≤t≤7/5.

(1)若抛物线与坐标轴有且仅有两个公共点，试比较t与-1的大小；

(2)试确定抛物线y1与直线y2上下位置关系；

(3)若抛物线经过(k,-7/2)，无论x为何值，总有x²+(2t-3)x+t≥-9/2，当2m-1≤x≤2m时，抛物线有最小值3m+1/2，设R点坐标为(m,0)，按照角的大小关系判定△PQR形状.

解析：

(1)请注意题目中“抛物线与坐标轴有且仅有两个公共点”这句话，事实上任何初中阶段的抛物线，与y轴始终有一个公共点，因此解读这句话的结果就是抛物线与x轴有且仅有一个公共点，这是第一层，另外，考虑到特殊情况，抛物线与y轴的公共点恰好是原点，则抛物线与x轴还有另外一个公共点。综合起来，抛物线y1与x轴有唯一公共点或者抛物线y1经过原点且与x轴有另一个公共点。第一种情况：△=0，于是(2t-3)²-4(t+1)=0，解得t=(4±√11)/2，由于t本身范围限制，只能取t=(4-√11)/2，显然它大于-1；第二种情况：抛物线过原点，因此t=-1，同时△>0，综上所得t≥-1；

(2)判断两条函数图象上下位置关系，除了几何直观之外，便是取任意垂直于x轴的直线，从上至下，先与哪个图象相交，哪个便在上方，因此本小题可用两种方法解决。

解法一：联立抛物线与直线得方程

x²+(2t-3)x+(t+1)=(2t-3)x+(t-t²)

化简得x²+1+t²=0

∵△>0

∴抛物线与直线无公共点

又∵抛物线开口向上

∴y1在y2上方；

解法二：对任意x=a，比较y1-y2

y1-y2=a²+(2t-3)a+(t+1)-(2t-3)a-(t-t²)

=a²+1+t²>0

∴y1>y2即y1在y2上方；

(3)在解读题目时，点P和点Q的坐标均可用含t的代数式表示出来，而看到抛物线经过某点，通常是将这个点坐标代入解析式中，而后面“无论x为何值，总有x²+(2t-3)x+t≥-9/2”到底作何解释？是许多学生读题时的障碍。

不妨将点坐标代入后，看看得到什么式子，如下图：

将点(k,-7/2)代入y1后得到的式子与不等式进行比较，无论x取何值，也包括k值，总会有不等式成立，我们比较一下就知道：

y1=x²+(2t-3)x+(t+1)，而不等式左边是x²+(2t-3)x+t，是不是只相差1？我们只需要将不等式稍修改一下，变成x²+(2t-3)x+t+1≥-7/2，再看左边，和函数y1的解析式一样了。也就是说，无论x取何值，y1总是大于等于-7/2，结合抛物线开口向上，顶点即为最低点，于是联想到点P纵坐标和-7/2相等，从而列出方程求解。

这一步解读之后，实质上告诉我们，满足条件的抛物线已经确定了，相应的点P、Q的坐标也确定了，分别求出得P(2,-7/2)，Q(0,-3/4)

然后我们再来解读抛物线有最小值的情况，给出的x取值范围是个动区间，含参数m，而抛物线是确定的，对称轴为x=2，典型的定轴动区间，因此，我们分情况进行讨论：

①当对称轴x=2在区间内，即2m-1≤2≤2m，即1≤m≤3/2时，最小值就是顶点P的坐标，因此得到方程3m+1/2=-7/2，解出来m=-4/3，不在范围内，舍去；

②当对称轴x=2在区间左侧，即2<2m-1，即m>3/2时，最小值就是当x取2m-1时的值，于是得到方程(2m-1)²-4(2m-1)+1/2=3m+1/2，解得m=(15+√145)/8，所以R((15+√145)/8,0)；

③当对称轴x=2在区间右侧，即2m<2，即m<1时，最小值就是当x取2m时的值，于是得到方程4m²-8m+1/2=3m+1/2，解得m=0，所以R(0,0)；

三种情况讨论结束，也能求出R点坐标，还剩下一个难题要解决，就是判断△PQR的形状。

很显然在情形③中，几何直观判断即可，为钝角三角形，然而情形②中，颇不好判断，于是我们借助两条辅助线来判断，如下图：

P、Q位置已确定，可作出，分别过这两个点作PQ的垂线，于是得到它与x轴的两个交点M、N，显然当R恰好与M、N重合时，为直角三角形，在线段MN上时，为锐角三角形，其余部分为钝角三角形，而M、N坐标可求，分别为M(6/11,0)和N(109/16,0)，而情形②中求出的R点横坐标，恰好在线段MN上，因此它是锐角三角形。

综上所述，当m>3/2时，R((15+√145)/8,0)，△PQR是锐角三角形，当m<1时，R(0,0)，△PQR是钝角三角形。

解题反思

整道题目在求解过程中，其实给出的那个图基本没啥用，全部思考都在脑子里进行，包括抛物线开口方向，对称轴，动区间等，一来运动的图象无法给出固定的参考图，二来不给图自己作本身就极考验学生的理解能力，作为压轴题，也需要考查这方面的素质。唯独需要作图打草稿的，就是最后判断△PQR的形状，这也难怪，在坐标系中，用函数条件来判断形状本身就是难点。

本题第一小题略有小坑，考虑问题不周全的学生难免上当，而第二小题，对判断函数图象上下位置理解不到位的，会感到无法下笔，而在第三小题中，则考验了学生综合素养。总体来看，上手有小坑，中间理解有障碍，最后判断难下笔，属于较难的压轴题。