第十五章 算 筹

    前文说过历法是通过对日影长期的测量计算出来的。伏羲八卦则是历法的载体，是历法的延续，也是历法的具体体现，同时八卦还是远古人类最高科学技术的结晶。一幅看似简单的八卦图不仅包含了天文历法、地理、数学、气候、时空、方位、哲学、农业、空间等内容，还包含了文字、文化、文明、思想、占卜等丰富多样的内涵。如果说八卦是全人类科学技术的始祖、全人类文明的肇始者，我认为这种说法一点都不过份！

    圭表，通过对日影的测量发明了历法。八卦，使历法得到广泛的普及和发扬光大。但在这两项空前绝后的发明创造中都缺少不了对庞大数据的运算。那么在远古时期人们是用什么计算工具对如此庞大的数据进行运算的呢？

    算盘！哈哈，我相信我们中国人最先想到的一定是老祖宗发明的算盘。算盘是在宋朝晚期才出现的，而在算盘之前的几千年或上万年前，我们中国人用来计算数据的工具是算筹！伏羲在创造历法时就是用算筹来计算的。

     算筹是谁发明的，因年代久远，已不可考，但肯定是我们中国人发明的，这一点毫无疑问。

    算筹：是由多根长短粗细相同的小棍组成，小棍长12厘米-14厘米，粗细大概在0.2厘米-0.5厘米之间，小棍数量可达270根之多，常被捆扎为一束装在布袋里以便随时使用。小棍的制作材料一般没有限制，木制居多，商朝之后也有玉、象牙、铜等其它材料制成的算筹出现。

    在介绍算筹的计算方法之前，我不得不先谈一谈什么是十进位制？十进位制简单讲就是：基本数字由0--9组成，每逢十进一，10个1是一十，10个10是一百，10个100是一千，……万、十万、百万、千万、万万（亿）。十进制是人类数学史上最伟大的发明，是由我们中国人发明的，发明人和发明年代不详，但根据对北京周口店山顶洞人的考古发现，早在几万年前的中国人就已经开始使用十进制进行计算了。

    著名的英国史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价：“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了，商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进、更为科学。”其实我们中国的十进制运用早在比商朝更加久远的年代就开始了。

    数学是所有科学之祖，有多发达的数学就有多发达的科学，一切科学成果都是建立在数学的基础上获得的。为什么圭表是中国人首先发明和运用？为什么人类第一部历法是中国人创造？为什么八卦图有那么多丰富的科学内涵？为什么我们中华文明能够超前和领先世界几千年、几万年？这一切的一切都要归功于我们老祖宗发明的十进制运算方法！没有十进制，一切都不可想象，只有十进制才能对纷繁复杂的数据进行科学的演算。如果说文字推动了人类文明的发展，那么数学则推动了人类科学的发展，而十进制则推动了数学的发展。

算筹计数的表达方式：

    由于算筹是通过多根长短粗细相同的小棍进行计算的，所以对于小棍的摆放就要有一定的规则，没有规矩不成方圆嘛！其摆放规则是：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，万位再用纵式…等。从右到左，纵横相间，以此类推，只要有足够多的木棍，就可以用算筹表示出任何自然数。由于它位与位之间的纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。

    算筹是标准的十进制算法，详细的计算方法如下：183 x 26

    （1）把乘数26摆在上面，被乘数183摆在下面，被乘数的个位与乘数的十位对齐，中间留有空余，准备摆乘得的积。从高位乘起，用乘数十位上的2乘被乘数183，得3660，摆在中间，积的数位与被乘数对齐，0用空位表示。

    （2） 去掉已乘过的乘数十位上的数字2，把乘数个位6移至与被乘数的个位对齐的位置。用乘数个位6乘被乘数183，所得的积与3660相加，最后得积4758。

    以上是用算筹进行简单的乘法运算，能明白其中的道理就好了，算筹不但可以进行加减乘除四则运算，还可以进行乘方开方，多元多次方程，甚至于高元高次方程和圆周率的运算。东汉著名科学家张衡用算筹推算出的圆周率值为3.162。三国数学家王蕃用算筹推算出的圆周率为3.155。南朝时代的何承天用算筹推算出的圆周率为3.1428。最著名的当属著名数学家和天文学家祖冲之的圆周率运算，他是世界上第一位将圆周率的准确数值计算到小数点后7位的数学家，祖冲之圆周率也称为“祖率”是3.1415926，其也是用算筹计算出来的。祖冲之创造的圆周率记录直到一千年后才被阿拉伯数学家打破。

     算筹是中国特有的一种计算工具，尤其是十进制的运用使得算筹这种计算工具领先了世界上万年，其在数学上的成就可与中国古代的四大发明相媲美。算筹最早在中国是什么时候开始应用的已经无从考证，但在伏羲时代的中国就已经开始使用算筹计算天文地理是可以得到确认的。新疆阿斯塔纳出土的伏羲女娲交尾图，图中女娲手中拿着的就是算筹，再者伏羲在制定历法的过程中也是使用算筹进行计算的。

    算筹在中国有着悠久的历史，人们在用算筹计算的同时还总结发明了很多运算技巧，如我们每一个中国人都烂记在心的“乘法口诀表”就起源于中国古代的算筹运算规则。只不过古时中国的乘法口诀表是从九九八十一开始，而我们现在的是从一一得一开始。大家千万不要小看老祖宗给我们留下的这个乘法口诀表，就凭这个，我们每一个中国人的计算能力都要超过其他国家人的好几倍！记得好像是前年（2016年）吧，在英国议会上有人问英国首相卡梅伦8x9是多少？哈哈，这个中国人不用过脑子都能回答出来的问题，英国首相居然张口结舌的答不出来！再有就是中国人去国外旅游购物时，标价4.5欧元的东西，中国人就给收银员5.5欧元，意思是不用找零钱，而有的国外收银员认为是给他一欧元的小费呢，还有的国外收银员在得知中国人的意思后大吃一惊“哇！你太厉害了！这么复杂的计算，你一瞬间就算出来了！”然而他们不知道的是这种事每天都会在中国发生无数次，哪一个中国人都不会为这种事感到吃惊的，太平常了，就好像没有发生一样。

 女娲左手拿着的正是上古时期用来计算的算筹

    实际上，自远古到公元十四世纪前中国一直都是世界上数学最发达的国家，无论是算筹、算盘、十进制，还是数学理论都远远的领先于世界上任何一个国家。如：勾股定理，负数概念，正负数加减法等等。中国早在公元十三世纪就已经有了十次方程的解法，而欧洲直到公元十六世纪才提出三次方程的解法。

    有什么样的数学就有什么样的科学，有什么样的科学就有什么样的文明。通过对先进的十进制和算筹的了解，我们更加清楚的明白了为什么人类历史上的第一部历法是在中国产生的原因，通过对伏羲历的学习和研究我们又知道了历法对社会进步和人类文明的推动作用具有多么重要的意义。写到此时，突然又让我想起了苏美尔、古埃及和玛雅，他们在没有圭表的情况下是怎么确定金字塔准确的方位的？他们在没有十进制和算筹的情况下是如何计算的？难道说他们那些先进的历法和发达的天文学知识都是从天上掉下来的吗？

    补充：

    （1）公元1096年-1291年，十字军远征使欧洲人接触到阿拉伯国家所保有古代文化宝藏。他们将大量的阿拉伯文书籍译成拉丁文。于是希腊、印度和阿拉伯人创造的文化，还有中国的四大发明便传到了欧洲。

    （2）公元十三世纪，欧洲数学界的代表人物斐波那契向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码和位值制记数法，以及各种算法在商业上的应用。中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书中。

    （3）公元十二世纪后，阿拉伯数学通过地中海沿岸向西的文化走廊逐渐传入西班牙和欧洲。特别是十进位值制数码、笔算、《几何原本》的译本等等，对西欧以至对后来整个世界数学的发展产生了重要影响。中国古代数学的某些内容(十进位值制记数法、比例问题、不定方程、二项展开式系数表、高次开方法、盈不足术等)也传入阿拉伯(有些则是先经由印度)并通过阿拉伯数学再传入欧洲。

    （4）公元十九世纪后，大量的阿拉伯数学内容被翻译整理出来并西传欧洲。阿拉伯数学中包含了许多古希腊、印度、中国和本地区的古代数学成果，融汇东西方古代数学于一身。西传之后，对文艺复兴后世界数学的发展，产生了积极的影响。另外，阿拉伯数学对比较数学史的研究来说，也是很重要的。

    （5）由此可见，中国的数学成果是在公元十二世纪后通过阿拉伯传至欧洲的，而中国数学则是在更早的公元五世纪左右传至阿拉伯和印度的。

    （6）10进位位值制、甲子纪年法、规矩作图、算筹、圭表等在中国都有着上万年以上的应用历史，即使是今天看来，依然具有先进性和科学性，充分说明了中国是数学传统最悠久的国家。