最美的数学---群论

人类对美的追求促进了文明的发展，然而什么是美却是困扰人类最大的问题。无论是哲学家还是社会科学家乃至自然科学家，对美的描述都大相径庭。当然大家还是有很多共识。比如和谐代表一种美，协调也属于比较美的范畴。

感官（包括眼睛，味觉等）是感受美的第一道门槛。很多东西都过不了这道门坎。信息时代更是如此。美女帅哥基本都是外形漂亮。没有了外在美，想成为一个网红是非常难的。

然而人类最缺的却是沁人心扉的内在美。一个能打动人心弦的东西。也就是一件能引起你共鸣，唤醒你良知，勾起你激动的事物。数学特别是群论也许是极其罕见的这样内容之一。

大家好，今天伟岗跟大家聊聊群论，这个被很多数学教授誉为最美数学内容之一的学科。文章开头之前，还是要感谢各位朋友同学的鼓励和打赏，没有了朋友同学的一再支持，伟岗也许早就放弃聊数学了。

跟很多人想象的情况相反，数学是现在很多家庭的心病。大量的金钱，资源和时间都投入到小孩的数学培训上，效果却不明显。这甚至造成了一些家庭的不和谐。数学成了很多年轻人获得美好生活的拦路虎。甚至有很多人在工作以后还在感叹，要是当年的数学成绩好一点就好了。从某种意义讲，教育之所以成为现代人背负的三座大山（房子，医疗和教育）之一，数学教学的不完美是重要因素。有多少人感受到数学之美，伟岗感到怀疑。

即使到了今天，人人都能写作的自媒体时代，能够告知很多人数学是美的科普文章或书籍也不多。由于数学内容的繁杂和深奥，绝大多数数学科普只能浅尝辄止，还远远到不了探索数学美的层次。当然也存在一些试图把有深度的数学内容展现给大家的数学家，比如公众号老顾谈数学，只可惜这些数学内容，基本都是云里雾里，离普通人能够理解，能够接受的程度相差十万八千里。

可是历史又把深刻理解数学内容的重任交到了家长手上。如果家长都对学习数学感到吃力，觉得枯燥无味，又怎么能要求自家小孩花很多精力去学数学呢？所以去感受数学的美，才是目前很多人急需要完成的事情。即使你没有教育小孩的责任，能够从数学中感受到人类文明之美以及之和谐，也是一件叫人赏心悦目的事，所以跟着伟岗学点群论吧，看看数学教授们是不是忽悠人，群论乃至数学里到底能不能得到一些思考的快乐和鼓励你积极向上的正能量？

目前学群论有三种路径。第一种是按照现在国内的教科书，主要通过一些整体的描述和定义定理的证明展开整个内容。通过这条路径，可能应该是在大学里选修相关课程来学习才有效果。伟岗当年看了很多遍教材，始终也入不了门。

第二种就是通过图形化来掌握群论的基本内容。这个以油管上克莱姆森大学（Clemson University）数学教授麦考利（Macauley）的群论视频为代表，这个视频非常流行。看的人已经超过10万。正是这个视频中说群论是最美的数学内容之一。麦考利教授主要通过一些漂亮的图形（比如卡利流程图—Cayley diagram）来展现群论的抽象内容。这个视频用来自学要比较细心，因为它是以国外上课的形式展开内容的。特点是信息量大，缺点是有时候不容易跟上教授的思路。当然最大的障碍是英语水平，很多数学上的名词，要知道它的英语发音和拼写还是有一定难度。

第三种途径就是通过油管上一个叫Ben的英国医学院学生的群论视频教材。这个视频系列的特点是从群论的最基本单元：元素和乘法表去学习群论。这样的方法非常适合自学，因为跟上面两种方法比较，这种方法相对逻辑比较简单清晰。缺点就是，要讲复杂的内容就比较啰嗦一些，毕竟从最基本的元素去探讨群论，有的时候很难说清楚非常抽象和复杂的内容。比如到了学习伽罗华理论时，这种方法就反倒显得非常难跟上节奏了。

当然大多数人并不想真正展开去学习群论的内容，那你就跟着伟岗来感受一下群论的美吧。

群论的第一美，在于对过去套路的颠覆。没有神秘就没有美，如果群论还是跟原来我们中学学的数学一样，就是加减乘除等的变换，群论的美就要大打折扣了。

比如说群论的乘法表，刚接触的时候，你一定以为就是我们小学就学过的乘法，两个元素相乘就行了。即使进一步，你发现这个乘法可以有很多定义，甚至一个位置变换也可以当做乘法，你也许还是有一点掉以轻心，以为只不过是换个马甲而言。等到学陪集（英语叫：cosets）时，左右陪集就体现了群论的抽象性，一个群论意义下的乘法竟然是把一个群分成子群，这个对思维的考验还是有一些的。你这时可能会深入思考，会想到原来群论并不在乎运算（当然这里说的不在乎是数学意义上的不在乎，学习群论，运算能力还是必须的），群论的关注点是整个群的模式和对称（英语叫：pattern and symmetry）。一个集中力量在整体的数学分支，跟我们以前所学的数学内容还是大大不同，这考验我们的思维能力。

而再往下学到商群（quotient groups），内容就更加的复杂，商的概念就跟我们以前的除法大大不同，商群竟然牵涉到正规子群以及正规子群的陪集，虽然陪集是通过左乘或右乘得到，但是商群却跟乘法和除法似乎一点关系都没有，只跟群的分割有关系，这大大出乎我们的预料。但是一旦我们想通了某个出乎意料的概念，心里会感到一丝兴奋，像这样的数学分支不多。学习中能获得乐趣自然是群论美的体现。

群论的第二美在于外表形式的简单。一个很多人都公认比较难的数学分支，竟然只有5种群要深入研究：简单循环群（cyclic groups）,阿贝尔群（也叫交换群，abelian groups），二面体群（dihedral groups），对称群（symmetric groups）和交错群（alternating groups）。其中也许只有交错群理解有些难度。更为关键地是，还有一个凯莱定理（Cayley theorem）: 所有的有限群都同构于它对称群的子群。也就是说，研究任何群，只要研究相应的置换群就行了。这样大统一的结论在数学上是非常罕见的。这从一个侧面说明群论的和谐。简单和谐不正是美的体现吗？

群论的第三美在于有深度。一个肤浅无趣的人，外表再艳丽也很难有吸引力。内涵和素质常常是决定因素。为什么那么多人都认为群论难学，自然是因为群论有深度。非常容易学的数学内容，没有人会认为它美，反而是要经过千辛万苦才得到深刻理解的东西，会使数学家，数学爱好者乃至一般人感受到这些数学内容的惊艳。

群论是到了学西罗定理（Sylow theorems）开始有些难度。交错群就在学习西罗定理之后。理解交错群要从位置变换开始。一组数的位置变换，比如（1,2,3,4）变成（1,3,4,2）数学上叫置换（英语叫permutation,读起来很有韵味）的基础。按照排列组合公式，这样的位置变换共有n!（也就是n的阶乘）个，这个n是指共有多少数字需要位置变换，比如上面的例子就是4，也就是说上面4个数字的位置变换有4X3X2种，也就是24种位置变换。

数学家证明了任何位置变换都可以化成两两位置变换的组合，拿上面的例子来说，虽然位置变换是3变成了2的位置，4又变成了3的位置，但我们可以找到一组只是交换两个数位置的变换的组合，完成上述变换。（上面的例子就可以转换成3先跟2位置变换，然后4再跟2位置变换）。这样的转换当然可以有很多种。还是拿上面的变换作为例子，我们还可以4先跟2变换位置，然后2再跟3变换位置，结果都是一样的。数学家严格证明了，虽然把任何变换转换成位置的两两变换有很多不同种方式，但是所有的转换变成的两两位置变换个数的奇偶性不变。也就是说，如果一个位置变换转换为某个两两位置变换的数量为奇数（也就是1,3,5,7等），那么这个位置变换转换成两两位置变换的个数只能是奇数（这个数学家定义为奇置换）。如果是偶数（数学家定义为偶置换）情况也一样。这个结论有点搞，要细细体会一下。

交错群的定义就是决定于这些转换中。也就是说一个所有置换群的偶置换子集也组成一个群，这个群就叫做交错群。为什么单单把偶置换提出来单独研究，没看到奇置换的身影，教科书也没说。伟岗估计是因为偶置换更体现对称性，所以很多群论要研究的对象都同构于交错群，毕竟群论要研究的就是对称性。这就是带出群论的下一个美妙点：和谐与对称。

从前面我们叙述伽罗华理论的时候，我们已经感受到群论因为研究对称而产生的威力。美如果没有震撼力，也谈不上美。群论通过提炼多项式方程的根在复平面上对称的信息，加上同构映射的复平面上根的旋转和翻转信息的整合，竟然解决了困扰数学家上千年的难题：5次及5次以上方程根式解问题，这个在数学圈引发的震动不会比任何其它震动小。你要是一个数学研究者，甚至你只要是一个数学爱好者，对这样的震动都会感到目瞪口呆。数学史上这样的进步还真不多。

实际上二面体群的组成就是融合伽罗华证明的思想（这个应该是后续数学家在伽罗华思维的基础上发展起来的）。想象一个圆上的点，可以通过旋转和翻转使得这些点重合，二面体群的组成就是这些旋转和翻转变换。这些旋转翻转变换组成的群就是二面体群，它是置换群的子群。其思路应该来源于伽罗华群对多项式根映射产生的结果。

旋转和翻转变换组成的二面体群体现了一种特殊的和谐之美。这要从它在我们生活中有很多身影例子体会出来。比如魔方就是翻转和旋转的组合。还有就是很多分子和多面体都能通过旋转和翻转变换来展现它们的对称特性。数学家把这些对称现象整合到数学内容中，你不得不佩服数学家的想象力和逻辑推理能力。群论的应用现在已经四面开花，不过由于其深度和难度，真正在其它领域展现其震撼性还需要假以时日。这也带来另一个感叹：群论还有巨大的潜力，还需要更多的天才去探索，这也许是群论最美丽的一点。

一个事物能够激发你的想象，唤起你的激情，发挥你的天才，有比这更美丽的东西吗？事实上群论已经给很多数学家带来了荣誉。我们现代最伟大的数学家应该算怀尔斯了，他的费马最后定理的证明也是用到了群论中的群表示理论。就是舒尔茨，这个冉冉升起的数学新星，他的p进理论也离不开群论。所以如果你能够去钻研群论，或者至少带动你的小孩爱上群论，前途可以说是一片光明。如果你能深刻理解群论，你离成为数学家就不远了。