高中函数解析式的七种求法

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设是一次函数，且，求

解：设  ，则

     

二、       配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 

例2 已知  ，求 的解析式

解：，

     

三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知，求

解：令，则， 

   

 

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式

解：设为上任一点，且为关于点的对称点

     则，解得： ，

点在上 

  

把代入得：

 

整理得    

五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设求

解   ①

显然将换成，得：

  ②

解① ②联立的方程组，得：

例6  设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式

解 为偶函数，为奇函数，

   又 ① ，

用替换得： 

即② 

解① ②联立的方程组，得

  ，    

六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

   例7  已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求

解对于任意实数x、y，等式恒成立，

不妨令，则有 

再令 得函数解析式为：

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求

 解 ，

不妨令，得：，

又  ①

分别令①式中的  得：

 

将上述各式相加得：，