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复合函数的定义域 一、复合函数的概念 如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。 注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。 另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。 例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。 二、求复合函数的定义域： （1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。 答案： [-1/2 ，0 ] 例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。 答案： [-1 ，1] （2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。 例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。 答案： [ 1 ，3] （3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。 例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 - 2 ) 的定义域。 答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3] 三、求复合函数的解析式。 对于复合函数的解析式的求法，虽然种类很多，在这里重点介绍配凑法和换元法，详细内容请参阅《教学周刊》第6期。 （1）配凑法 若已知f [ g ( x ) ] = F ( x )是关于x的函数，可以把F ( x )表示g ( x )的复合函数形式，然后用x替换g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。 例5、已知f (，求f ( x )的解析式。 答案：f(x)= x 2 例6、已知f ( x + ,求f ( x )的解析式。 答案：f(x)= x 3-2x-1 （2）换元法 若已知f [ g ( x ) ]的表达式，可以令g ( x ) = t，从中解出x再将x代入f [ g ( x ) ]的表达式中，这样f [ g ( x ) ]就表示成关于t 的函数，即得函数f ( x )的解析式。 例7、已知 （ x > 0 ）求f ( x )的解析式。 答案： 2 / (x-3) 例8、用换元法看看例5，例6能否适用。 答案：f(x)= x 2 f(x)= x 3-2x-1 二、对于f ( x )函数中，利用已知条件，求某些特殊函数值。 对于这类问题的解决，一定要看清条件，按照所要解决的问题，利用条件，关键在于能否找到条件与所求的联系。这类问题没有现成的方法，它所考查的是同学们的发散思维。 例9、已知函数f ( x )满足f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )，且f ( 2 ) = p, f ( 3 ) = q,则f ( 36 ) = ? [分析]该题要求的是f ( 36 ),而条件中给我们f ( ab ) = ......，自然会想到，36能拆成什么的乘积了。 一、复合函数的概念 如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。 注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。 另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。 例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。 二、求复合函数的定义域： （1）若f(x)的定义域为a ≤ x ≤ b,则f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。 例2、已知f ( x )的定义域为（0，1），求f ( x 2)的定义域。 （2）若f [ g ( x ) ]的定义域为（m , n）则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。 C.[H]和ATP D.184条、0条 例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为（0，1），求f ( x ) 的定义域。 （3）由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。 例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x 2 - 2 ) 的定义域。 三、求复合函数的解析式。 对于复合函数的解析式的求法，虽然种类很多，在这里重点介绍配凑法和换元法，详细内容请参阅《教学周刊》第6期。 （1）配凑法 若已知f [ g ( x ) ] = F ( x )是关于x的函数，可以把F ( x )表示g ( x )的复合函数形式，然后用x替换g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。 例5、已知f (，求f ( x )的解析式。 例6、已知f ( x + ,求f ( x )的解析式。 （2）换元法 若已知f [ g ( x ) ]的表达式，可以令g ( x ) = t，从中解出x再将x代入f [ g ( x ) ]的表达式中，这样f [ g ( x ) ]就表示成关于t 的函数，即得函数f ( x )的解析式。 例7、已知 （ x > 0 ）求f ( x )的解析式。 例8、用换元法看看例5，例6能否适用。 二、对于f ( x )函数中，利用已知条件，求某些特殊函数值。 对于这类问题的解决，一定要看清条件，按照所要解决的问题，利用条件，关键在于能否找到条件与所求的联系。这类问题没有现成的方法，它所考查的是同学们的发散思维。 例9、已知函数f ( x )满足f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )，且f ( 2 ) = p, f ( 3 ) = q,则f ( 36 ) = ? [分析]该题要求的是f ( 36 ),而条件中给我们f ( ab ) = ......，自然会想到，36能拆成什么的乘积了。 例10、已知f ( x ) = ，那么f ( 1 ) + f ( 2) + f () + f ( 3 ) + f( ) + f ( 4 ) + f () 例11、若上题要求： f ( 1 ) + f ( 2 ) + f () + ...... + f ( n ) + f () + ...... + f ( 2003 ) + f () |
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