高中数学：求复合函数的定义域问题

函数的定义域是函数的灵魂，是研究函数及应用函数解决问题的基础，处理函数问题必须树立“定义域优先”的数学意识，因此求函数的定义域是最关键的问题。但对于求复合函数的定义域，大部分同学感到很棘手，下面着重谈谈复合函数定义域的求法。

一、已知的定义域，求的定义域

思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。

例1、设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。

解析：函数的定义域为（0，1）

即，所以的作用范围为（0，1）

又f对lnx作用，作用范围不变

所以

解得

故函数的定义域为（1，e）

例2、若函数，则函数的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由，知

即f的作用范围为，又f对f(x)作用

所以

即中x应满足

即

解得

故函数的定义域为

二、已知的定义域，求的定义域

思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。

例3、已知的定义域为，则函数的定义域为_________。

解析：的定义域为，即

由此得

所以f的作用范围为

又f对x作用，作用范围不变，所以

即函数的定义域为

例4、已知，则函数的定义域为______________。

解析：先求f的作用范围，由，知

解得

f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以

即的定义域为

三、已知的定义域，求的定义域

思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。

例5、若函数的定义域为，则的定义域为______________。

解析：的定义域为，即，由此得

的作用范围为

又f对作用，所以

解得

即的定义域为

函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。可以利用这种理念求此类定义域问题。

▍ 来源：基于课本内容与网络信息整合