参数的取值范围例解

参数的取值范围例解

2014  11  马洪亮

波利亚提到的思维方法告诉我们：时刻不忘未知量，参数取值范围的求解问题，因为涉及到两个或者两个以上的字母，显得抽象繁琐，还可能考察到二次函数、指数、对数函数、三角函数、向量、解析几何、分段函数等，解题方法也较灵活多样，不易掌握。以下归纳，以作参考。

1.变换主元

例1.若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。

析：已知参数m的取值范围而求未知数x的取值范围，可采用变换主元的策略，原不等式可变形为，当时恒成立。当做以m为自变量的函数，则原问题可等价转化为函数在区间[－2，2]上的函数值恒小于零，从而有，即，解得。

2.数形结合

例2.已知对任意实数x，不等式恒成立。求实数k的取值范围。

解：原不等式两端可视为两个函数与y＝kx，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，问题的解决方法自然产生。如图，只有当直线的斜率k取区间[0，1]上的任一值时，才有恒成立。故实数k的取值范围为。

3. 分离参数

例3.函数为定义在上的增函数。若恒成立，求实数m的取值范围。

 

解：依题意，原不等式

对分离参数m，应用得：

在函数定义域中恒成立，

可得

对分离参数m，应用得：

对一切恒成立。

可得

由①、②可知，实数m的取值范围为。

4.最值性质：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）有解；（4）有解。

例4.求使不等式有解的实数a的取值范围。

析：只需求出的最小值，只要a大于其最小值即可，求出坐标轴上到两点和的最小值。答案：。

5.构造法

例5.设关于的方程在区间（0，）内有相异的两个实根。求实数a的取值范围。

设，则由题设知，直线与圆有两个不同的交点A（）和B（）。

即原点O到直线的距离小于1，即。

解得：。

又因为、，且，直线不过点（1，0），即。

所以，即

点评：将代数问题构造平面图形后，用平面解析几何的有关知识解题，实际上是数形结合思想的灵活应用。

6.利用函数的单调性求解

例6.已知函数对区间上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。

解：依题意，对上任意x的值恒成立

整理为对上任意x的值恒成立。

设，只需

而在上是增函数，则

所以

7.构造向量巧解

由向量的数量积公式：（其中θ为向量a与b的夹角），，又，则易得到以下推论：

（1）；                     （2）；

（3）当a与b同向时，；当a与b反向时，；

（4）当a与b共线时，。

例7.设x,y为正数，不等式恒成立，求a的取值范围。

解：设，则

由性质，得

又不等式恒成立

故有

8. 利用导数解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m<f(x))恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。

例8、已知函数,对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围

解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立

知 对一切x∈（0，+∞）恒成立，

即对x∈（0，+∞）恒成立

设则，由h^′(x)=0解

h^′(x)>0时，解得0＜x＜, h^′(x)＞0时x＞

所以h(x)在（0，）上递增，在（，+∞）上递减,

 故h(x)的最大值为，所以