高中数学：几何最值问题求法

最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．

一、几何法  

利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．

例1、已知P（x,y）是圆上的一点，求的最大值与最小值。

分析：，于是问题就可以转化为在以A（2，0）为圆心，以为半径的圆上求点P，使它与原点连线的斜率为最大或最小。

由示意图可知，当OP与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。由OA=2，AP₁=AP₂=

，且AP₁⊥OP₁，AP₂⊥OP₂，OP₁=OP₂=1，且∠AOP₁=∠AOP₂=60°，得。

 

二、代数法  

用代数法求最值常用的方法有以下几种：

1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（）范围内方程有解，这一点应切记．

例2、（同例1）

分析：设，将y=kx代入圆方程得。x为实数，方程有解，，解得，故。

即。

2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围．

例3、已知椭圆及点P（0，5），求点P到椭圆上点的距离的最大值与最小值．

分析：以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r₁，则r₁为点P到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r₂，则r₂为点P到椭圆上点的距离的最大值．

因，故点P（0，5）在椭圆内部．   

设以（0，5）为圆心的圆方程为，与椭圆方程联立消去x²，得。当时，，即；当y=7时，，即。

注：这里将距离的最大值、最小值的探求转化为半径r的函数，利用函数的性质求得定义域内的最大值、最小值．值得注意的是因为r的定义域的限制，这里不适合利用判别式法．

3、利用基本不等式求最值．利用基本不等式求最值时，必须注意应用基本不等式的条件，特别要注意等号的条件以及“和”（或“积”）是不是常数，若连续应用不等式，那么要特别注意同时取等号的条件是否存在．若存在，有最值；若不存在，无最值．

例4、过点A（1，4）作一直线，它在两坐标轴上的截距都为正数，且其和为最小，求这条直线的方程．

分析：可用截距式设所求直线方程为。

，

∴，当且仅当时s取最小值，即b=6。故所求直线方程为。

 

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