函数思想在“直线与圆的方程”中的体现

函数思想在“直线与圆的方程”中的体现

山东省胶南市第一中学　　韩朝泉

　　函数思想渗透于高中数学的方方面面，在直线与圆的方程中，我们也不难找到它的身影．

 

　　一．求最值问题中的函数

 

　　最值问题是一种常见问题，求解往往可以转化为求函数的最值．在直线与圆的方程中，有些最值问题可以借助于圆的方程特征及几何特征，利用函数的思想加以解决．

 

　　例１．已知实数满足．

 

　　（１）求的最大值和最小值；

 

　　（２）求的最大值和最小值．

 

　　分析：首先，表示的图形是圆．（１）由已知可得，这是一个关于的二次函数，因此，问题转化为求二次函数的最值问题．（２）设，则可以看作关于或的函数，转为求函数的最值问题；（３）设，可结合几何意义求函数的最值．

 

　　解：化为：，表示圆心在，半径的圆．

 

　　（１）设，由得，，即，这是一个关于的一次函数，由于，所以，当时，，当时，．

 

　　（２）设，此函数的最值可以借助于几何意义：圆上的点与定点的连线的斜率．如图１所示，由Ａ作圆的切线，设切线的方程为，即，由圆心Ｃ到直线的距离等于圆的半径，得，解得，所以，的最大值为，最小值为．

 

　　

 

　　二．含参数问题中的函数思想

 

　　含参数的问题，常常要对参数进行讨论，或求参数范围等，这时函数的思想可以发挥重要作用．

 

　　例２．已知方程表示圆．试求圆的半径的取值范围．

 

　　分析：将圆的半径用参数表示出来，得到关于的函数，然后利用函数的性质求范围．

 

　　解：设圆的半径为，则

 

　　．

 

　　由，得．

 

　　所以，当时，；即圆半径的范围是．

 

　　三．求轨迹方程中的函数思想

 

　　求轨迹方程的方法有很多，基本上都会用到函数的思想．尤其是参数法求轨迹方程时，函数的思想体现得更为明显．

 

　　例３．设圆的方程为，试求圆心Ｃ的轨迹方程．

 

　　分析：圆心的横坐标与纵坐标都可以用参数表示出来，因此，消掉参数即可求出圆心的轨迹方程．要注意自变量的范围，由于表示为参数的函数，所以，其范围是与的范围相关的，可以理解为函数的值域．

 

　　解：设圆心Ｃ，依题意，．

 

　　由（１）得，代入（２），得．

 

　　由例２可知：，所以，．故圆心Ｃ的轨迹方程为

 

　　（）．

 

　　有变量就有函数，函数思想为我们解决问题提供了方便，渗透于数学的各个知识点中．通过对各知识点中函数思想的认识，一方面可以加深我们对函数思想的理解，另一方面也可以增强我们对问题本质的理解与把握，同时还可以提高我们分析问题，解决问题的能力．