等差数列及其应用讲义

等差数列及其应用

【内容分析】

同学们听说过数学家高斯的故事吧，他用很巧妙的方法求得出1+2+3+……+98+99+100的和。

1+2+3+4+5……+98+99+100

           =（1+100）+(2+99)+……+（50+51）

           =101×50

           =5050

即：（100+1）×（100÷2）=5050

等差数列的相关公式：

总和=（首项+末项）×项数÷2

项数=（末项－首项）÷公差+1

公差=（末项－首项）÷（项数－1）

末项= 首项+（项数－1）×公差【例题点拨】

【例1】 4+5+6+……+58+59

分析：首先判断这是一个公差为1的等差数列（连续自然数列）求和，首项、末项已知，项数未知，由1~59是59个数，可知4~59是59-3=56个数。

解题过程：     4+5+6+……+58+59

          =（4+59）×56÷2

          =（4+59）×（56÷2）

          =63×28

          =1764

【例2】1+4+7+……+43

 分析：这是一个公差为3的等差数列求和，首项、末项已知，项数未知，所以要使用公式先求项数：（43－1）÷3+1=15（项），再求和。

 解题过程：     1+4+7+……+43

              =（1+43）×[(43－1)÷3+1]÷2

              =44×15÷2

              =22×15

              =330

【例3】小明数数，从2开始，每隔3个数出一个数，一共数了20个数，

（1）求小明数出这20个数的和。

（2）20是他数的第几个数。

分析（1）：为了清楚题意，我们试着数一下，2、（3）、（4）、（5）、6（7）、  （8）、（9）、10……，观察发现，数出的数是一个公差为4的等差数列，首项、公差已知，末项要通过公式求出：2+（20－1）×4=78。

解题过程：末项 2+（20－1）×4=78

               2+6+10+……+78

              =（2+78）×（20÷2）

              =80×10

              =800                  

           答：这20个数的和是800。

分析（2）：已知首项、公差、末项（从2到20相当于从这个等差数列中截取一部分，其实这部分也是一个等差数列，20相当于这个数列的末项）求项数：项数=（末项-首项）÷公差+1

解题过程：   （20－2）÷3+1

             =18÷3+1

             =6+1

             =7                 

          答：20是第7个数。

【例4】甲、乙、丙三人的年龄是连续的奇数，他们的年龄和与丙的爸爸的年龄相同，他们4人的年龄和是66岁。求甲、乙、丙的年龄分别是多少?

分析：由4人的年龄和是66岁，又他们的年龄和与丙的爸爸的年龄相同，知道三人年龄和66÷2=33（岁）；因为三个连续奇数的和等于中间数与项数的乘积，故乙的年龄为33÷3=11（岁）。

解题过程：    66÷2=33（岁）

              33÷3=11（岁）

              11－2=9（岁）

              11+2=13（岁）

         答：甲9岁，乙11岁，丙13岁。

【习题精选】

（1）3+6+9+……+30

（2）1+3+5+7……+97+99

（3）有一串数12、15、18、21、24、……，问其中147是第几项？

（4）3000－1－2－3－……－50

 （5）下面一列数是按一定的规律排列的：3、11、19、27、35……，第14项是多少？

（6）已知数列1、5、9、13、……，求出它的第18项；及前18项的和是多少？

（7）一串数，第一个数是8，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是118，这串数连加的和是多少？

【自我测试】

1、影剧院有座位若干排，第一排有23个座位，以后每排比前一排多3个座位，最后一排有62个座位，问这个影剧院共有多少个座位？

2、     1+2+3－4+5+6+7－8+9+10+11－12……+85+86+87－88

习题精选答案：

（1）165；  （2）2500；   （3）46；（4）1725；  （5）107； 

（6）69； （7）项数：（118-8）÷5+1=23   和：（8+118）×23÷2=1449

自我测试答案：

（1）（62-23）÷3+1=14（排）    （23+62）×（14÷2）=595（个）

（2）原式 =（1+2+3－4）+（5+6+7－8）+（9+10+11－12）…+（85+86+87－88）=2+10+18+……+170 （2+170）×〔（170－2）÷8+1〕÷2=1892