学好线性代数,我推荐这本书谨以此文纪念哈尔莫斯(Halmos,1916-2006)诞辰100周年 作者 | 林开亮 (京东2.24-2.29人民邮电出版社有五折活动哟) 在中国,线性代数一般等同于矩阵论,这主要是受华罗庚先生的影响,他的矩阵功底炉火纯青,因此他的学生曾肯成教授这样说:“龙生龙,凤生凤,华罗庚的学生会打洞。”所谓“打洞”,就是用相似变换或其它矩阵变换将矩阵化成标准型(其中有很多元素为0,即“洞”)。据华罗庚的另一得意弟子陆启铿院士讲,当初邀请华罗庚访问美国普林斯顿高等研究所的外尔(H. Weyl)曾这样评价:“华罗庚玩矩阵就像玩数字一样得心应手。”大概是陆启铿先生的话被人听岔了,做出这一评价的外尔教授,有时被讹传为韦伊(A. Weil)。稍微了解韦伊的人都知道,他不可能说这话。为什么呢?因为韦伊是法国布尔巴基学派的灵魂人物,他跟谢瓦莱(C. Chevalley)都致力于消除代数中的行列式、结式等计算性的概念,而华罗庚是以矩阵计算见长,绝非韦伊所欣赏的风格。这里有罗塔(Gian-Carlo Rota)教授在1988年提供的证词(见其文章Fine Hall in its golden age: Remembrances of Princeton in the early fifties,收入A Century of Mathematics in America, Part III, History of Mathematics, Volume 3, P. Duren, Ed., pp.223-236, American Mathematical Society, 1989. http://www34.homepage./robert.jantzen/princeton_math/pmcxrota.htm): “ 在这方面,韦伊和谢瓦莱的先驱,正是罗塔这里所提到的阿廷。荷兰数学家范德瓦尔登(van der Waerden)曾根据阿廷和诺特(E. Noether)的讲义,写成抽象代数的经典名著《近世代数》(后来更名为《代数学》,有中译本,科学出版社),此书直接刺激了布尔巴基学派的诞生。希尔伯特(Hilbert)、诺特、阿廷是近世代数的先驱,近世代数的思想一度在德国盛行。特别地,受到量子力学的刺激,冯·诺依曼(von Neumann)将这一思想应用到无限维空间的泛函分析中,导致了线性代数的几何化。这方面的第一本书,就是冯·诺依曼在普林斯顿高等研究院的助手哈尔莫斯(P.R. Halmos)根据他的讲义写成的《有限维向量空间》(Finite-Dimensional Vector Spaces)。该书1942年出版,之后多次再版,现已成为经典(期待有朝一日能够引进中译本,这是笔者心目中独一无二的线代数圣经)。 眼下这本《线性代数应该这样学》(Linear Algebra Done Right 第三版),可以说,基本上是按照《有限维向量空间》的精神写的一本新书。这毫不奇怪,作者是圣弗朗西斯科州立大学数学系的教授阿克斯勒(Sheldon Axler)。他是哈尔莫斯的徒孙,中间的链接是萨拉森(Donald Sarason)。阿克斯勒写作这本书,可以追溯到他在1995年发表在《美国数学月刊》上的一篇阐述性文章《打倒行列式!》(Down with determinants!),该文次年获得了美国数学协会颁发的 Lester R. Ford 写作奖。标题取名为“打倒行列式! ”,也许在中国的读者看来,有点不可思议!因为在通行的线性代数教科书中,行列式通常放在一开头讲的,如果直接扔掉了,后面还怎么讲?事实上,这是完全可以做到的,《线性代数应该这样学》就做到了这一点。在全书中,迹和行列式是最后一章,而之前讲完了线性代数所有其它内容(尤其是作为矩阵灵魂的特征值与特征向量),根本不需用到这两个概念! 阿克斯勒之所以要打倒行列式,可能主要是想突出线性代数的本质方面是概念而非计算。正是出于对后一个看法的支持,促使我在这里向读者推荐这本书。 如前所说,线性代数的教学分两派:一派注重代数计算,以华罗庚先生为代表,这条线最终可溯源到美国的代数与数论学家迪克森(L. E. Dickson),中间的链接是杨武之教授(杨振宁的父亲,把近世代数和数论引进到中国);一派注重几何直观,以哈尔莫斯为代表,最终追溯到诺特和阿廷,中间的链接是冯·诺依曼。虽然我本人经受的课堂训练是偏计算的(教材用北大的经典《高等代数》,它以丁石孙先生的《高等代数简明教程》为蓝本,丁先生在自传中说他借鉴了苏联斯米尔诺夫的《高等数学教程》;课堂之外,我的高等代数老师、天津大学数学系田代军教授指引我去读华罗庚、万哲先的《典型群》以及雅各布森(N. Jacobson)的抽象代数著作),然而只是在我后来用哈尔莫斯的《有限维向量空间》重新学了一遍线性代数以后,我才敢说我对线性代数有了一点底气。我希望我说这话时,你不要认为我是在吹牛,我甚至希望这话能得到专业人士的认可,因为我在博士论文中的部分工作,就是用阿廷、冯·诺依曼、哈尔莫斯那一派的几何观念和方法,完善了华罗庚先生1947年的一项纯代数的矩阵工作。因此可以说,我是华罗庚先生和哈尔莫斯教授两派结合的产物。 代数计算将线性代数机械化了(我有一次在打乒乓球时感觉每一次回球就像在做一次初等变换),同时也变得有点无聊。我常常有一种天真的想法,也许可以考虑用吴文俊先生倡导的数学机械化,将华罗庚学派炉火纯青的打洞技术给实现了! 要想让线性代数生动起来,除了介绍一些精彩应用的例子外, 一个可行的办法是强调几何的语言。几何的语言, 自然是相对于代数的语言而说的。简单讲, 就是用线性变换代替矩阵, 用抽象向量代替列向量。几何语言的优点是简洁明快, 例如“作用(action)”这个词给人的感觉就是如此。代数语言的好处是具体清晰, 两个矩阵“相乘”在我们头脑中的图象,是一系列具体运算的运作。通常的教科书往往过分强调了代数的语言, 这同时也充分暴露了其诸多弊端。最大的缺点在于容易将几何淹没于代数。而且,在很多问题中坐标的选取并不重要,我们所需要的往往只是一些基本的运算规律, 例如分配律、结合律等。这时抽象的几何语言就十分适用了, 例如在内积空间的理论中, 我们往往采用几何语言。其实,数学家正是靠这种几何观点来指引具体的代数运算的, 例如所谓Gram-Schmidt正交化, 无非就是将第二个向量沿第一个向量作垂线(从三角形的一个顶点往底边引高线), 一旦指出这一点, Gram-Schmidt正交化的公式就很容易理解了。更近一步,理解Cauchy-Schwarz不等式就是水到渠成的了:它所对应的,无非是这样一个熟知的几何事实:直角三角形的直角边长不超过斜边长。 我要指出,我这里并非说代数计算不好,我想强调的是,要尽可能在在几何直观的指引下做代数计算。我觉得借用阿廷在其名著《几何化的代数》(Geometric Algebra,1957年出版)一书中的一句话来评论阿克斯勒的《线性代数应该这样学》再好不过了: “ 我将阿克斯勒的这本书郑重推荐给所有想重新从几何的观点看待线性代数的朋友,所有想从零开始学习线性代数的朋友。该书继承和发扬了哈尔莫斯《有限维向量空间》的几何化特色,以几何引代数,以概念指导计算!它会告诉你,线性代数不仅仅是矩阵论,或者更恰当地说,从几何的观点看,线性代数和矩阵论原来可以很简单!你不再需要 根据我的经验,要使线性代数在你心中扎根,你需要读哈尔莫斯的Finite-Dimensional Vector Spaces。如果你还不习惯读外文教材,那么阿克斯勒的《线性代数应该这样学》中译本在目前是首选。 下面我们简单介绍一下本书的内容。全书共十章,其中三章讲向量空间(1,2,6), 一章讲多项式(4),六章讲线性映射(其余)。第一章讲向量空间,从经典的 致敬科比(单指转球可以看成三维空间的一系列旋转) 第8章讲复向量空间上的线性变换的标准型,第9章讲实向量空间上线性变换的标准型,它们都是线性代数中的经典结果,要用到诸如广义特征向量之类的概念。不过对一般读者来说,也许你知道有这么一回事就可以了,毕竟通常呈现在你眼前的线性变换(或矩阵)都是比较简单而特殊的,用不到如此一般的系统理论。第10章是迹与行列式,这是线性变换的两个基本不变量。行列式比迹要复杂,所以放在后面。我的朋友吴帆在线性代数教学方面颇有心得,他曾说过,任何一本线性代数教材,如果一开头就讲行列式,学生基本上就学不会线性代数了。我想,这正是国内许多人学不会线性代数的原因吧。因此,我们特别提醒那些想学会线性代数的读者,如果你不想一开头就被行列式弄头大,不妨选择我们推荐的这本书。 对了,各章开头插入的精美彩图也会令你眼前一亮,心向往之!我们仅取第一章和最后一章的两幅插图为证! 第十章插图:英国数学家和计算机科学先驱艾达·洛夫莱斯 本书的前两版曾在美国近300所院校作为教材使用,作者因此收到了成千上万条反馈意见,可以想见,第三版将何等卓越。奇文共欣赏,疑义相与析。预祝你们阅读愉快,有疑问不妨直接与作者联系,据我的经历,阿克斯勒非常欢迎读者给他提意见与建议。
“ 作者简介:林开亮,首都师范大学基础数学专业博士,现任教于西北农林科技大学理学院。原文出自《数学文化》,曾在好玩的数学发布微信版,本次推送时略作修订,感谢《数学文化》和好玩的数学授权转载。 |
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