「中考复习」三大变换之旋转（旋转的构造-托勒密定理）

本篇将介绍关于旋转的内容，一个关于旋转构造的定理-托勒密定理，定理本身并非课内知识，但在近年中考中，已经不止一次地出现了，因而值得重视．

01

定理介绍

托勒密定理

定理：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．

翻译：在四边形ABCD中，若A、B、C、D四点共圆，则AC·BD=AB·CD+AD·BC．

定理证明

证明：在线段BD上取点E，使得∠BAE=∠CAD，

易证△AEB∽△ADC，

∴AB:AC=BE:CD，即AC·BE=AB·CD，

当∠BAE=∠CAD时，可得：∠BAC=∠EAD，

易证△ABC∽△AED，

∴AD:AC=DE:CB，即AC·DE=AD·BC，

∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC，

∴AC·BD=AB·CD+AD·BC．

定理推广-托勒密不等式

推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD，AC·BD≤AB·CD+AD·BC

证明：如图1，在平面中取点E使得∠BAE=∠CAD，∠ABE=∠ACD，

易证△ABE∽△ACD，∴AB:AC=BE:CD，

即AC·BE=AB·CD①，

连接DE，如图2，

∵AB/AC=AE/AD，∴AB/AE=AC/AD，

∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE，

∴△ABC∽△AED，∴AD/AC=DE/BC，

即AC·DE=AD·BC②，

将①+②得：AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC，

∴AC·BD≤AC(BE+DE)=AB·CD+AD·BC

即AC·BD≤AB·CD+AD·BC，

当且仅当A、B、C、D共圆时取到等号．

托勒密定理在中考题中的应用

托勒密定理在中考题中的应用

（1）当△ABC是等边三角形时，

如图1，当点D在弧AC上时，

根据托勒密定理有：AC·BD=AB·CD+AD·BC，

又等边△ABC有AB=AC=BC，

故有结论：BD=AD+CD．

证明：在BD上取点E使得DE=DA，

易证△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，

利用对应边成比例，可得：BD=AD+CD．

如图2，当点D在弧BC上时，结论：DA=DB+DC．

【小结】虽然看似不同，但根据等边的旋转对称性，图1和图2并无区别．

（2）当△ABC是等腰直角三角形，

如图3，当点D在弧BC上时，

根据托勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，

又AB:AC:BC=1:1:根号2，

代入可得结论：根号2AD=BD+CD．

如图4，当点 D在弧AC上时，

根据托勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，

又AB:AC:BC=1:1:根号2，

代入可得结论：BD=根号2AD+CD．

（3）当△ABC是一般三角形时，

若记BC：AC：AB=a：b：c，

根据托勒密定理

可得：a·AD=b·BD+c·CD．

02

中考题中的托勒密定理

2019仙桃中考

2019威海中考

2017临沂中考

2016淮安中考