 提要 平面几何是初中数学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础。但许多初中生对解几何题感到困难，不知道怎么把已知条件和结论联系在一起。其实解几何问题就像过河，要过河就需要解决桥和船的问题，在几何图形中，辅助线就好比沟通已知和未知的桥和船。辅助线添加得巧妙，解题就可以达到“一桥飞架南北，天堑变通途”的效果。 知识全解 一．辅助线法的概念 通过添加辅助线解题的方法称作辅助线法 二．需要添加辅助线的情况 当图形比较简单，图形已知条件比较分散，基本图形中的条件缺失时，就需要通过添加辅助线来沟通已知和未知的联系，把分散的条件集中到一个图形中，或还原或构造基本图形，从而方便地利用已有知识解决问题。 许多辅助线的添加是有规律可循的，要不断地总结添加方法，这样有助于拓宽思路，丰富联想，以达到融会贯通的目的。 三．辅助线法的解题策略 要掌握添加辅助线的方法和技巧，应从具体问题入手，把相同类型的题目以及添加辅助线的方法进行类比，归纳，总结规律，以后遇到类似的题目就会有应对的技巧或思路 添加辅助线是手段，而不是目的，不能见到题目就漫无目的地添加辅助线。一则没用，二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。 学法指导 类型1 平行线中的辅助线 例1 如图所示，已知AB‖DE，∠ABC=70度，∠CDE=140度，则∠BCD的值为（） A.20度 B.30度 C.40度 D.70度  【解析】过点C 作CG‖AB，则∠BCG=∠ABC=70度，又因为AB‖DE，所以DE‖CG，所以∠CDE+∠DCG=180度。因为∠CDE=140度，所以∠DCG=40度，所以∠BCD=30度。故选B 【点评】本题还可以反向延长DE交BC于点F，利用平行线的性质和三角形的外角性质求解。 类型2 三角形中的辅助线 例2 已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90度，点D,E在边BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，且AD平方∠BAE 求证：BD=AC  【解析】此题乍看起来毫无思路，但考虑到AE为DC边上的中线，可延长AE至点F，使AE=FE，连接FD 这样，在△AEC和△FED中 AE=FE，∠AEC=∠FED，CE=DE 所以△AEC≌△FED（SAS） 所以AC=FD，∠CAE=∠F 至此，此题思路基本已通，接下来，只需证明FD=BD 在△ABD和△AFD中 ∠B=∠F，∠DAB=∠DAF，AD为公共边 所以△ABD≌△AFD(AAS) 所以BD=FD=AC 【点评】涉及三角形中线（或中点）问题时，常采用延长中线一倍的方法构造全等三角形来解决问题。 此题还有另外一种添加辅助线的思路：过点D作AC的平行线交AE的延长线于F，则∠CAE=∠F。此时，在△AEC和△FED中，∠CAE=∠F，∠AEC=∠FED，CE=DE，由AAS可证得△AEC≌△FED。接下来的证明与上面解析中相同。 因为两直线平行，同位角（或内错角）相等，可以为证明两三角形全等创造条件，所以过一点作一条线段的平行线是在证明三角形全等时常用的一种辅助线。 类型3 四边形中的辅助线 例3 如图所示，在梯形ABCD中，AD‖BC，AD=3，AB=CD=4，BC=7，求∠B的度数。  【解析】过点D作DE‖AB交BC于点E，四边形ABED为平行四边形 ∴DE=AB=CD=4，BE=AD=3 ∴CE=BC-BE=BC-AD=7-3=4 ∴CE=DE=CD ∴△CDE是等边三角形 ∴∠B=∠DEC=60度 【点评】一般地，在解决梯形内部没有对角线的问题时，我们经常通过平移一腰，在梯形的内部构造平行四边形和三角形，从而把有限的已知条件集中到一个三角形中，这样对解决问题更加方便有效。 类型4 圆中的辅助线 例4 如图所示，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30度，BC=4√3，D是线段BC的中点且在⊙O上。过点D作DE⊥AC，垂足为点E。求证：直线DE是⊙O的切线。  【解析】证明：连接OD ∵点D是BC的中点，点O是AB的中点 ∴OD‖AC 又∵DE⊥AC ∴∠EDO=90度 又∵OD是⊙O的半径 ∴DE是⊙O的切线 【点评】如果题目中的直线与圆的公共点明确时，则连接公共点和圆心，然后证明公共点与圆心的连线垂直于已知直线。 链接中考 考点1 添加辅助线求角度 例1 如图1所示，四边形ABCD中，∠C=50度，∠B=∠D=90度，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数是（） A.50度 B.60度 C.70度 D.80度  【解析】如图2所示，点A关于直线CD，CB的对称点分别为M,N，则AF=MF,AE=NE，所以△AEF的周长=AF+EF+AE=MF+EF+NE，要使该三角形周长取得最小值，当且仅当M,F,E,N四点共线（如图3）时成立。因为∠ABC=∠ADC=90度，∠C=50度，所以∠BAD=130度，根据轴对称性可得：∠FMD=∠FAD,∠ENB=∠EAB；又由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可得在△MAN中，因为∠MAN=130度，所以∠ENA+∠FMA=50度。所以∠FAD+∠EAB=50度，∠EAF=130-50=80,故选D 【点评】利用对称是求最值问题的常用方法。本题通过添加辅助线构造轴对称，进而将三角形周长问题转化为线段长度问题，为求角度奠定了基础。 考点2 添加辅助线求边长 例2 如图所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A,B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD于点Q，连接CQ （1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长 （2）取CQ的中点M，连接MD,MP，若MD⊥MP，求AQ的长  【解析】（1）当△CDQ≌△CPQ时，DQ=PQ,CP=CD 设AQ=x，则PQ=3-x 在Rt△BCP中，由勾股定理，得PB=4,AP=1  解得：x=4/3，即AQ=4/3 (2) 延长DM交BC于点R，连接PD,PR 易证：△DMQ≌△RMC，∴DQ=CR,DM=MR,∴AQ=BR ∵M为CQ得中点 ∴DM=PM ∴△DPR和△PMD都是等腰直角三角形 ∴△DAP≌△PBR ∴AP=BR=2 ∴AQ=2 【点评】通过添加辅助线，使分散的条件集中化 考点3 添加辅助线证相似 例3 如图1所示，在四边形ABCD中，点E，F分别是ABCD的中点。过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA,GB,GC,GD,EF。若∠AGD=∠BGC （1）求证：AD=BC （2）求证：△AGD≌△EGF （3）如图2所示，若AD,BC所在直线互相垂直，求AD/EF的值  【解析】（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB。同理GD=GC。 在△AGD和△BGC中，∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,CD=GC ∴△AGD≌△BGC ∴AD=BC （1）证明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC 在△AGB和△DGC中，GA/GD=GB/GC,∠AGB=∠DGC ∴△AGB∽△DGC ∴AG/DG=EG/FG 又∵∠AGE=∠DGF ∴∠AGD=∠EGF ∴△AGD∽△EGF (3)如图3所示，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH  由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC 在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB ∴∠AGB=∠AHB=90度，∠AGE=1/2∠AGB=45度 ∴AG/EG=√2 又∵△AGD∽△EGF ∴AD/EF=AG/EG=√2 【点评】本题(3)小题的解法有多种，还可按图4和图5作辅助线求解。 考点4 判断说理 例4 如图所示，正方形ABCD的边长为8cm，E,F,G分别是AB,CD,DA上的动点，且AE=BF=CG=DH。 （1）求证：四边形EFGH是正方形 （2）判断直线EG是否经过某一点，说明理由 （3）求四边形EFGH面积的最小值  【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠B=90度，AB=DA ∵AE=DH，∴BE=AH ∴△AEH≌△BFE ∴EH=FE,∠AHE=∠BEF 同理：FE=GF=HG ∴EH=FE=GF=HG ∴四边形EFGH是菱形 ∵∠A=90度、 ∴∠AHE+∠AEH=90度 ∴∠BEF+∠AEH=90度 ∴∠FEH=90度 ∴菱形EFGH是正方形 （2）直线EG经过正方形ABCD的中心 理由如下：连接BD交EG于点O，如上图所示 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB‖DC，AB=DC ∴∠EBD=∠GDB ∵AE=CG ∴BE=DG ∵∠EOB=∠GOD ∴△EOB≌△GOD ∴BO=DO,即点O为BD的中点 ∴直线EG经过正方形ABCD的中点 （3）设AE=DH=x，则AH=8-x 在Rt△AEH中， ∴四边形EFGH面积的最小值为32平方厘米 【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值等知识，综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过添加辅助线证明三角形全等才能得出结果。 |
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