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在网上经常会有人问这样的问题：圆周率π=3.1415926……无穷无尽下永远写不完，那它为什么又是一个确定了的数呢。或者有人换个问法：直径为1的圆周长就是π，如果画的话会永无尽头，但为什么我又可以把这个圆完整的地画出来呢？ 圆周率与麦田怪圈 这些问题其实都可以归结为一个问题：无限不循环小数，也称为无理数，它的本质究竟是什么？ 这个问题不要说你搞不清楚了，无数聪慧绝伦的哲学家与数学家搞了2000年，至今也没有一个绝对确定的答案。这个问题背后存在着两种彼此对立的哲学观——“实无限”与“潜无限”。 从抬头仰望星空的那一刻起，人类就开始思考关于无限的问题，宇宙是否是无限大？时间是否是无限长？物质是否无限可分？从古希腊时的芝诺悖论，到微积分创立初期关于“无穷小幽灵”的争论，再到19世纪末伟大的数学家康托尔(Cantor)以天才般的创见提出无穷基数的理论，人们关于无穷的争论始终在围绕着“实无限”与“潜无限”展开。 库布里克经典科幻电影《2001：太空漫游》中，一直猿猴仰望太空 那么究竟什么是“实无限”与“潜无限”呢？当我们说无理数理论是建立在“实无限”的基础上，又是怎么一回事呢？ 二者都是对无限概念的一种描述。实无限认为，无限是一个已经完成了的，实实在在存在着的，可以被当成独立的东西来看待的一个整体；而潜无限则认为，无穷是一个不断延续的，永不停止的过程，因此它不能被当成独立的整体来看待。比如自然数这个概念，潜无限主义者认为，当我们说“全体自然数”时是没有意义的。因为我们永远不可能穷尽所有的自然数，每当你写一个自然数，我都可以找到它的下一个自然数(加上1即可)，所以它是一个永远延续的过程，人类理性无法把握“全体自然数”这个概念。而实无限论者则认为，说“全体自然数”是有意义的，它们整体构成一个集合，而这个集合是存在的，我们可以对这个集合进行各种操作，学过高中数学的我们自然就知道了，它其实就是N。 亚里士多德 古希腊亚里士多德是历史上第一个明确区分实无限与潜无限的人，并且他只承认潜无限。而古希腊历史上最著名的有关无限的问题，大概要数芝诺悖论了。芝诺为了反驳另一位哲学家赫拉克里特提出的“世界处于永恒变化之中”这一观点，提出了有关运动的四条悖论，其中一条有关人和乌龟赛跑的悖论最让人疑惑。 开始时人落后乌龟10km，假设人的速度是乌龟的10倍，那么一直跑下去人肯定能追上乌龟。但是现在我们考虑另外一种事实，当人正好跑完这10km时，乌龟又往前跑了1km；当人跑完这1km时，乌龟又跑了0.1km；当人跑了0.1km时，乌龟又跑了0.01km……，如此下去，人永远也赶不上乌龟。 我们当然知道人最终肯定能赶上并超过误会，但是上面的论述问题出在哪儿呢？其实这就是实无限与潜无限的分歧所在。按照潜无限的观点，人追赶乌龟这个过程是无穷无尽的，因此人永远追不上乌龟。但实无限者则认为，经过计算可以得到当距离为100/9时人正好赶上乌龟，而100/9是一个实在的数，中间不管过程如何无限，但这个结果是确确实实是存在的，因此人能赶上乌龟。 可以看出，就结果而言，实无限者是对的。而我们的现代数学理论，特别是有关无理数的理论，就是以实无限为基础的。 对于整数和有理数，我们可以很轻易的理解它。但对于无理数，即无限不循环小数，很多人就开始怀疑它的存在。拿√2这个数举例子。我们知道： √2=1.4142… 那我们如何来确定它到底是什么呢。上文提到的德国数学家康托尔和另外一位德国数学家戴德金(Dedekind)分别给出了自己的定义方式。 康托尔 康托尔是利用有理数基本序列的方式来定义√2的，简单来说，做一个数列： 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，… 利用数学分析里面的柯西收敛准则可以判定这个数列是有极限的，那么我们就给这个数列起一个名字，叫做√2。 可以看出实无限的思想在这里体现的非常明显。因为一串数列是无限长的，而我们将这无限长的东西当成了一个整体并承认其存在，然后才能给它起一个名字。按照潜无限的观点，这一串数列作为整体是不存在的，就更谈不上起名字了。 戴德金 而戴德金采取的则是对有理数进行分割的方式来定义√2，做一个集合 ｛x是有理数| x²<2 或 x<0｝ 可以看出这个集合是由所有位于√2左侧的有理数组成的，或者说他以√2为界把所有有理数劈成左右两半，这就是为什么这种方法被称为分割的原因。而上述集合也是包含无限多个元素的，实无限者承认无限集合的存在，于是给它起一个名字叫√2。 上面就是定义无理数或实数最常用的两个方式，而不管哪个方式，都是蕴含了实无限的思想在里面。也就是说，每一个无理数，实际上背后都对应了一个无限事物，如果你承认了无限事物的整体存在性，即实无限，那么也就相当于承认了无理数的存在性。这就是前文我为说现代数学是建立在实无限观基础上的原因。 当然并不是所有人都是实无限论者，坚持潜无限的人也大有人在，其中就包括康托尔的老师，德国数学家克罗内克(Kronecker)。克罗内克拒绝承认任何超出人类直觉理性范围之外的东西，别说是无理数了，连有理数它也拒绝承认其存在。他的一句名言是：上帝创造了整数，其它都是人造的。更让人感叹的是，正是他的得意门生康托尔，提出了实无限的数学理论，他不仅不支持，甚至还极力反对。康托尔在老师和其他学者的攻击之下，最终患上了精神病，住进了疯人院。 克罗内克 克罗内克是近代直觉主义的精神先驱，后来的一些数学家，以布劳维尔为代表，形成了20世纪数学基础三大理论之一的直觉主义学派，其思想一直影响到现在。 |
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