傅里叶变换和拉普拉斯变换是高等数学的重要内容，这两大变换贯穿于各个自然学课，傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念，今天我们从一种全新的视角分析拉普拉斯变换是怎么得到的。
如下是一个非常熟悉的幂级数
当an等于如下结果时，可以得出f(x)等于，我们都知道幂级数和都是以一种离散的形式存在
我们将上式变换，得到积分状态下的连续形式
结合你已有的数学基础，来分析下，如下图所示，非常简单
所以我们重点分析0x1时的情况
根据上述结论，我们得到
最终得到著名的拉普拉斯变换公式
由此将离散下的幂级数变成连续下的黎曼和形式（积分形式），就得到了著名的拉普拉斯公式，非常巧妙。
拉普拉斯地逆变换就是
对拉普拉斯变换有一个形象的描述你在一天夜里乘火车去一个城市，外面很黑，你看不到任何风景，无所事事的你偶尔看到车厢内有一个高度计，有心的你就开始记录沿途的海拔变化。
无聊的过了几个小时，你和车长开始攀谈起来：这地形很有意思，大部分时间我们的火车都在往上爬，但我发现有时候不是很有规律，沿途同样有陡峭的下坡，然后是个较浅的山谷。车长回答道：“是啊，我猜是吧。咱们的目的地位于一个大型的山脉的山脚，所以总体来讲车的海拔在升高，但是沿途我们翻过了一座山丘，跨过了一道山谷。
现在，根据列车长的叙述，想想如何理解海拔高度和途径距离的关系。由于你直接测量了海拔的高度，你当然可以说你知道这里所有的对应关系。对比而言，列车长知道的一样多，但他的信息更加简单也更加直观。山丘和山谷的位置引起了列车海拔的起伏，你对这一信号的描述是几千个独立的测量点，而车长的描述只含有几个参数。它反映了区域内的地形变化，这个区域就是S平面
要把这个事例和信号处理联系起来，我们可以假设要理解电路的几个参数，为了实现这一目的，我们仔细地测量了冲击响应和频率需要，而冲击响应和频率响应包含了一个线性系统地所有信息。
拉普拉斯变换在设计上是为了分析一类特殊的信号：有正弦函数和指数函数构成的冲击响应。如果对其他波形做拉普拉斯变换得到的S域就没有实际意义
如下是拉普拉斯和傅里叶变换的区别，一目了然
