有幂级数引发的“拉普拉斯变换”

我们知道数学中的三大变换：傅里叶变换，拉普拉斯变换，Z变换贯穿于整个信号处理与复变函数，拉普拉斯变换将傅里叶变换在频域不能解决的问题推广到复频域，所以其应用也更为广泛。拉普拉斯变换是如何得到的呢？

首先来看幂级数和形式：

幂级数是数学分析中很重要，其简单的格式曾导出了重要的泰勒公式。那是否能导出抽象的拉普拉斯变换呢？

我们看两个例子

这些简单的幂级数都是不连续的，如果将其变为连续的形式将如何处理呢？

所以我们用积分的形式将离散的幂级数变为连续形式。

x取值：

所以0<x<1时，使得积分有发散状态变为收敛状态。

如何定义0<x<1这种状态，让公式更加有意义呢

思来想去只有e的对数函数才能满足：

经过变化得到：

所以就得到了拉普拉斯变换公式：

所以将离散式的幂级数变成连续式的黎曼和积分形式，就得到了拉普拉斯变换。

如何理解这个公式在信号中的应用呢？

你某天夜里乘火车去另外一个城市，外面很黑，你看不到周围，无所事事的你看到车厢内有一个高度计，于是你开始记录沿途的海拔变化。

这地形很有意思，大部分时间车都往上爬，有时候又不是很规律，有同样的陡峭的下坡，再然后是个较浅的山谷。你和邻座的人攀谈起来。邻座的人说:“咱们的目的地位于一个大型的山脉的山脚，所以总体来讲车的海拔在升高，但是沿途我们翻过了一座山丘，跨过了一道山谷。”

由于你直接测量了海拔的高度，得出了高度与途径距离的关系，但你邻座的信息更加简单直观。你对这一信号的描述是几千个独立的测量点，而你邻座的描述值含有几个参数。它反映了区域内的地形变化，这个区域就是S平面

拉普拉斯变换在设计上是为了分析一类特殊的信号：有正弦函数和指数函数构成的冲击响应。如果对其他波形做拉普拉斯变换得到的S域就没有实际意义。

如图矩形脉冲的傅里叶变换和拉普拉斯变换明显直观，线条优美，但对解释拉普拉斯在S域（频域）上的特征没有实际意义。只是单纯作为一种变换而存在。