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向你介绍我是谁 我是“一课研究”第13组学员楼磊，任教于杭州市长寿桥小学，很高兴和您在这里相遇。 本期内容有哪些 听一听：小学数学中的函数思想 读一读：让“反比例”更接地气 轻轻松松听听书
A.函数概念渗入数学运算 B.表格和图像中渗透函数思想 坚持阅读8分钟 俗话说：“教学相长”。在数学教学前，教师首先要对所教数学知识进行深入地研究。若是教师对概念的本质存在质疑、一知半解或照本宣科，那么教学肯定是无效的。关于反比例意义及用比例解决问题中，我们老师存在哪些概念的偏差或错误理解呢？ 一场接地气的讨论    争论焦点一：反比例是比例吗？ 比例 数学上，表示两个比相等的式子叫做比例。在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。 反比例 一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例。 意义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 比例是表示两个比相等的式子，实质是一个等式。反比例是表示两个相关联量之间的一种关系，实质是一个函数。他们所描述的是两个不同领域的问题，比例所描述的是数与式的范畴，而反比例所描述的是变量之间的关系，归属函数领域。从表现形式上看，比例有四个项，即一个比例式包含四个数；而反比例则对应了两个变量，通常关联无数个数。“比例”与“反比例”不应该是包含与被包含的关系，也就是说，反比例不是比例。 “反比例”不是“比例”，他们所描述的是两个不同领域的内容，那两者之间就没有联系了吗？数学学科知识的连贯性，注定了不同层面，不同领域的知识都有着内在的联系。“反比例”与“比例”也不例外，他们之间有着密切的联系。 数学上，表示两个比相等的式子叫做比例。例如：a:b=c:d。反比例是两种相关联的量，用k表示它们的乘积。反比例关系可以用xy=k(一定)来表示。 在反比例中，一种变量中的数值确定之后，另一种变量中，也就有相应的确定数值与之对应。由xy=k(一定)可列表为：  反比例都可以写成比例的形式。即：在比例的四个项中，如果有两项是未知量，另外两项是已知量，这两个量或成正比例关系，或成反比例关系。当这两个未知量分别作为内外项出现时，它们就是成正比例的量。当这两个未知量同时作为外项或内项出现时，它们就是成反比例的量。 争论焦点二： 用反比例解决问题写成形如正比例的方程可以吗？有价值吗？如果有，价值何在？ 例如：同学们排队做操，如果每排15人，需站12排，如果每排20人，需要站多少排？（用比例知识解答） 解法一：20x=15×12 解法二：15:20=x:12 解法二15:20=x:12正确吗？当然是正确的。做操人数一定，每排人数和站的排数成反比例，其本质就是“每排人数的比等于排数反过来比”，列成的比例式就是：原来每排人数：现在每排人数=现在的排数：原来的排数。这完全是根据反比例的意义列出的比例式。 在比例解决问题时，当两种量成反比例关系时，为什么列出两组相对应的数的乘积的形式呢？《步出“正、反比例式”的误区》 周忠飞详细地进行阐述：①由于判断两种量是否成反比例时，是看这两种量中相对应的两个数的积是否一定，呈现的两个数的积的形式；②当两种量成反比例，列出比例后，在解比例时一般是利用比例的基本性质将比例转化成两数相乘后解答的。根据从简优化的原则，当两种量成反比例时直接列出两组相对应的数的乘积相等的形式。 因此，我们在用比例解决问题，决不能从形式上去判断是否正确，而是要抓住解题的实质——反比例的意义。 研究启示 1. 加深学生对反比例意义本质的理解。 ①在比较中深化理解“两种相关联的量” 反比例关系是两种相关联量的两种特殊关系，反比例概念是基于两种相关联的量后而形成的。我们教师要精心设计大量、有效的学习材料，帮助学生从经验背景中抽象概括出“两种相关联的量”，在比较重加深理解。   摘自：顾青山《正比例、反比例的意义导学设计》（数学·导学设计2001.04） ②在操作中深化理解“反比例的意义” 操作可以是具体的动手操作实践。如：提供24个小方片，你能摆成哪些长方形？请学生摆一摆。接着引导学生思考：摆成的这些长方形的长和宽分别是怎样变化的？是否成反比例的量？通过摆成面积不变、长宽不同的长方形的操作活动和对四个长方形长与宽的整体对照，帮助学生形成“变化方向相反”的直观感知，利于学生对反比例关系的理解。   还有，借助图表所提供的感性材料，让学生经历讨论、观察、归纳的过程，使抽象的反比例的意义从学生厚实的感性经验中水到渠成地提升出来。 ③在联结中深化理解“反比例的意义” 教师可以借助生活素材让学生展开联结，打破学生的思维定势，提升了学生的思维水平，实现教学的开放性。例如：根据“速度×时间=路程”，你可以想到哪些量一定？从而也沟通了正、反比例，使所学的知识联结起来，形成一张网。 2. 在用比例解决问题时，增加一些需要用比例式表示反比例关系来解决问题的例题。 例如:有两个长方体容器,甲容器底面的长为8厘米,乙容器底面的长为10厘米,它们底面的宽度相等。甲容器内原有水面的高度为8厘米，乙容器内原有水面的高度为12厘米。现在往这两个容器内分别注入等量的水（水均无溢出），结果水面高度恰好相等。问：甲容器内的水面上升了多少厘米？ 思考： ①甲和乙底面的宽度相等，即宽一定，底面积和长成正比例。 s乙:s甲= a乙:a甲=10:8=5:4 ②往这两个容器内分别注入等量的水，即体积一定，底面积和上升的高度成反比例。 上升h甲：上升h乙=s乙:s甲=5：4 ③（12-8）÷（5-4）×5=20厘米 增加类似根据正、反比例的意义解决问题的习题，既可以丰富学生的解题策略，提高学生解决问题的能力，最重要地是进一步加深学生对正、反比例意义的实质的理解，渗透了函数的思想。 蒂莫西家的地板 蒂莫西家的一块矩形拼砖地板，宽度是93块正方形铺砖，长度是231块正方形铺砖。 蒂莫西从地板一角出发，向其对角画一条对角线。这条对角线将经过多少块铺砖？ 答案：（231,93）=3 231 93-3=321 你若盛开 蝴蝶自来 审核人： 刘小仙、林志辉 |
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