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四边形不仅是八年级重点知识点，也是中考热点知识、难点知识。四边形中需要掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，性质都可以从边、角、对角线、对称性这四方面考虑，边包括对边、邻边；角包括对角、邻角；对角线一般互相平分、相等、垂直关系；对称性一般研究中心对称性、轴对称性。 以及常见四边形的判定，比如平行四边形，两组对边分别平行的四边形为平行四边形；一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形等等。包括矩形、菱形、正方形的判定方法也需要熟练掌握。  四边形中知识点较多，比如我们上一篇讲解的三大变换中的旋转变换，有一线三角模型、手拉手模型、半角模型等等，还有平移变换、翻折变换。并且还有存在性问题，比如平行四边形的存在性问题、矩形的存在性问题、菱形的存在性问题、正方形的存在性问题等等。当然，还有动点题，本篇内容主要讲解四边形几何动态问题。 例题1：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，若BD=12 cm，AC=20 cm， (1) 现E从A出发以1 cm／s的速度向C运动，同时F从C出发以2 cm／s的速度向A运动．当E与F相遇前，四边形DEBF是平行四边形吗？会的话，求出运动的时间t，不会的话说明理由. (2)现E从A出发以1 cm／s的速度向C运动，F从C出发以a cm／s的速度向A运动．且F比E晚出发2秒钟，当E与F相遇前，以D、E、B、F为顶点的四边形是否是矩形？是的话，请求时间t和a的值。  分析：（1）由平行四边形ABCD中，可得OA=OC，OB=OD，又由E从A出发以1cm/s的速度向C运动，同时F从C出发以2cm/s的速度向A运动，易得2AE=CF，即可得OE≠OF，则可判定四边形DEBF不是平行四边形； （2）若以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，则需要满足两个条件：一是OE=0F，二是EF=BD，由此建立关于a和t的方程组，解方程组即可求出a和t的值． 解：（1）四边形DEBF不是平行四边形． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵E从A出发以1cm/s的速度向C运动，同时F从C出发以2cm/s的速度向A运动． ∴2AE=CF， ∴OE≠OF， ∴四边形DEBF不是平行四边形； （2）当E与F相遇前，以D、E、B、F为顶点的四边形可以是矩形， 理由如下：∵E从A出发以1cm/s的速度向C运动，F从C出发以acm/s的速度向A运动，且F比E晚2秒钟， ∴EF=BD=10-t+10-（t-2）a=12，① ∴OE=OF=10-t=10-（t-2）a，② 由①②可得a=2，t=4， ∴当a=2，t=4时当E与F相遇前，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形．  例题2：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（9，0）、B（9，12），点M、N分别是线段OB、AB上的动点，速度分别是每秒5/3单位、2个单位，作MH⊥OA于H．现点M、N分别从点O、A同时出发，当其中一点到达端点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）是否存在t的值，使四边形BMHN为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由： （2）是否存在t的值，使△OMH与以点A、N、H为顶点的三角形相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形BMHN为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请探究将点N的速度改变为何值时（匀速运动），能使四边形BMHN在某一时刻为菱形．  分析：（1）要使四边形BMHN为平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等可知：MH=BN，BN=12-2t容易表示，只需要表示出线段MH的长度即可，可以利用平行线分线段成比例、相似三角形、锐角三角函数等方法表示出线段MH的长度。 （2）相似三角形的存在性问题，分△OMH∽△HNA和△OMH∽△NAH两种情况进行讨论。 （3）菱形的存在性问题，可以转化为等腰三角形的存在性问题。   例题3：如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC－CB－BA做匀速运动． (1)求BD的长； (2)已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由，同时求出△AMN的面积； (3)设问题(2)中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF为直角三角形，试求a的值．  分析：（1）菱形可得邻边相等，即AB=AD，再加上∠A=60度，那么△ABD为等边三角形。 （2）根据速度公式得到12秒后点P走过的路程为96cm，则点P到达点D，即点M与D点重合，12秒后点Q走过的路程为120cm，而BC+CD=96，易得点Q到达AB的中点，即点N为AB的中点，根据等边三角形的性质得MN⊥AB，即△AMN为直角三角形，进而可求出三角形的面积。  （3）直角三角形的存在性问题，分三种情况讨论，本题是动点题，还需要结合具体条件进行分类讨论。  四边形中几何动态题难度比较大，需要找到解题的方法技巧，结合具体的题目实际操作。 |
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