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在对幂函数y=x^μ求导时，我们用到了以自然常数e为底数的对数函数y=ln x的求导结果（ln x）'=1/x。那么，它的求导过程是怎么样的呢？我们一起来了解一下。 对数函数y=log(a)x直接求导是很难实现的，因为[log(a)（x h)-log(a)x]没法继续合并或分解。但前文中，我们已经求得了指数函数y=a^x的导数，(a^x)'=a^x*ln a。既然两者互为正反函数，我们据此，来推导一下它们的导数之间的关系。 值得注意的一点是，对数函数y=log(a)x和指数函数y=a^x互为正反函数，是从它们的函数法则上讲的。对于反函数y=log(a)x或f(x)=log(a)x，它的正函数（或直接函数）表达式应为：x=a^y或g(y)=a^y。 设存在一个直接函数（或正函数）x=g(y)（导数已知），它的反函数为y=f(x)。 直接函数（或正函数）x=g(y)的导数g'(y)=△x/△y，而反函数y=f(x)的导数f'(x)=△y/△x。所以有f'(x)=1/g'(y)。也就是说，正反函数的导数互为倒数。
我们先对直接函数g(y)=a^y求导，得：g'(y)=a^y*ln a。 那么，反函数f(x)=log(a)x的导数f'(x)=1/（a^y*ln a）。再把x=a^y代入上式，得：f'(x)=1/（x*ln a），记作(log(a)x)'=1/（x*ln a）。取a=e时，（ln x）'=1/x。 比较常见的正反函数还有三角函数和反三角函数。 我们以正弦函数和正切函数为例，来推导一下它们的反函数的导数。 |
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