数学培优——数轴上的动点问题 数轴上的动点问题是以数轴为背景,考查数轴知识运用的一类常见题型.解答这类问题时要注意数形结合思想、方程思想、分类讨论思想以及数轴上两点间距离公式的运用. 数轴上两点间的距离:数轴上两点A,B所表示的数a,b的差的绝对值叫做这两点间的距离,记作AB=|a-b|. 例1 已知点P是数轴上一个动点,它从点A出发,先向左移动3个单位到达点B,然后从点B 移动8个单位落在原点O.则点A表示的数是___________. 解析:设点A表示的数是a,因为点A向左移动3个单位到达点B,所以点B表示的数是a-3. 由题意,点B到原点O的距离是8, 即OB=8, 所以|a-3|=8, 所以a=11或-5. 例2 已知数轴上一只电子跳蚤第一次从原点O向右跳1个单位长度落在点A1,第二次从点A1向左跳2个单位长度落在点A2,第三次从点A2向右跳3个单位长度落在点A3,第四次从点A3向左跳4个单位长度落在点A4,…,如此继续下去,第2021次从点A2020向左跳2021个单位长度落在点A2021,则点A2021表示的数是______. 解析:依题意,得: A1表示的数是1, A2表示的数是1-2, A3表示的数是1-2+3, A4表示的数是1-2+3-4, …, A2021表示的数是: 1-2+3-4+…+2019-2020+2021 =(-1)×1010+2021=1011. 所以点A2021表示的数是2011. 例3 如图,已知数轴上有A,B,C三点,分别表示数-16,-8,10.现有甲、乙两只电子蚂蚁分别从A、C两点同时出发,相向爬行x秒,甲的速度为2个单位/秒. (1)当x=5时,设甲爬行到点D,则D,B之间的距离DB=______; (2)如果甲与乙恰好在点B相遇,求乙的速度; (3)如果甲到A,B,C的距离之和为30个单位,求x的值; 解析:(1)依题意,得点D表示的数是 -16+5×2=-6, 所以DB=-6-(-8)=2; (2)当甲从点A爬行到点B时, (3)因为AB=-8-(-16)=8, 所以x=8÷2=4, 当x=4时,乙从点C爬行到点B, 因为BC=10-(-8)=18,18÷4=4.5, 所以乙的速度是4.5个单位/秒; (3)设甲爬行到点P时, 甲到A,B,C三点的距离之和为30, 则AP=2x,点P表示的数是2x-16. ①如果点P在A,B之间, 则PA+PB=AB=8, 由PA+PB+PC=30, 得PC=30-8=22, 又PC=10-(2x-16)=26-2x, 所以26-2x=22,x=2; ②如果点P在B,C之间, 则PB+PC=BC=18, 由PA+PB+PC=30,得 PA=30-18=12, 又PA=2x, 所以2x=12,x=6; 综上,x的值等于2或6. 例4 如图,数轴A,B两点表示的数分别是-30和20,甲电子蚂蚁从点A出发,以每秒3个单位向右爬行2秒后,乙电子蚂蚁从点B出发向左爬行. (1)如果甲、乙两只蚂蚁恰好在AB的中点相遇,求乙的速度; (2)在(1)的条件下,求乙出发几秒后两只蚂蚁相距14个单位. 解析:(1)设AB的中点为C, 因为AB=18-(-30)=48, 所以AC=24, 所以甲从A爬行到C需要的时间为 24÷3=8(秒), 所以乙从B爬行到C所用的时间为 8-2=6(秒), 24÷6=4, 所以乙的速度为4个单位/秒; (2)设乙出发x秒后甲爬行到点D,乙爬行到点E.则 点D表示的数是 -30+3(x+2)=3x-24, 点E表示的数18-4x. ①如果在相遇前相距14个单位,则 由DE=14,得 (18-4x)-(3x-24)=14, 即18-4x-3x+24=14, 整理,得-7x=-28,x=4; ②如果在相遇后相距14个单位,则 由DE=14,得 (3x-24)-(18-4x)=14, 即3x-24-18+4x=14, 整理,得7x=56,x=8. 所以乙出发4秒或8秒后两只蚂蚁相距14个单位. 例5 已知数轴上A,B两点表示的数分别是-5和10,点P为数轴上一个动点,其表示的数是x. (1)如果点P到点A,B的距离之和为17,求x的值; (2)如果点P以每分钟6个单位的速度从原点O出发向右移动,点Q以每分钟5个单位得速度从点A出发向右移动,点R以每分钟2个单位的速度从点B出发向右移动,设P,Q,R同时出发,问几分钟后PQ=PR? 解析:(1)当P在A,B之间时, PA+PB=AB=10-(-5)=15<17, 所以P不可能在A,B之间; 当P在点A的左边时, PA=-5-x,PB=10-x, 由PA+PB=17,得 (-5-x)+(10-x)=17,解得x=-6; 当P在点B的右边时, PA=x-(-5)=x+5,PB=x-10, 由PA+PB=17,得 (x+5)+(x-10)=17,解得x=11; 所以x的值等于-6或11; (2)设出发y分钟后PQ=PR.此时 P表示的数是6y, 点Q表示的数是-5+5y, 点R表示的数是10+2y. ①当点Q追上点R时, Q,R重合,此时PQ=PR, 由Q,R重合,得 -5+5y=10+2y,解得y=5; ②当点Q为追上点R时, PQ=6y-(-5+5y)=5+y, PR=(10+2y)-6y=10-4y, 由PQ=PR,得 5+y=10-4y,y=1. 所以出发1分钟或5分钟后,PQ=PR. |
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