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数学中也有那么多美妙的相遇，演绎出一段段精彩的故事，让人惊奇，让人着迷。 你会发现，解题就是揭密那些相遇的故事， 解难题不过就是为相遇创造机缘：为种子浇洒雨露，为花儿招来蜜蜂，为牛郎织女架起鹊桥！ 一、当角平分线遇上等腰，平行线偷天换日秒解题 1.（2019·淮安－填空压轴题） 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝ ． 也许你早已注意到，角平分线、平行线、等腰三角形三者之中，有其二必有其三，如下图： 当你发现图中有角平分线，有等腰三角形，再顺藤摸瓜找到平行线AP∥HC，则tan∠HAP=tan∠BHC=BC/BH=2/1.5=4/3，如下图，这道压轴小题瞬间秒杀！ 二、当四边形遇上双直角，辅助圆横空出世一击杀 2.（2019·张家界－填空压轴题） 如图：正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD＝ ． 图中易得∠APF=∠ADF=90°，则A、D、F、P共圆，tan∠APD＝tan∠AFD＝2.怎么样，是不是简单的不要不要的？！ 三、当动点遇上定角，手拉手一转成双轨迹定 3.（2019·宿迁－填空压轴题） 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ． 这个题目中发生了怎样的故事？动点F绕定点E顺时针旋转60度至G点，F点在线段AB上，而线段AB被点A、B所确定，所以与点F关系最亲密的点是点A或点B，又因为点G是由点F绕点E顺时针旋转60度而来，所以要想定位点G就要把定点A或B绕点E顺时针旋转60度，如下图，把点B绕点E顺时针旋转60度得点P，双等边手拉手得ΔPEG≌ΔBEF，∠EPG=∠FBE=90°，从而确定PG是一条定直线，G是此直线上一个动点，依据点到直线的垂线段最短，当CG⊥PG时最小。 这个题目里蕴含着深刻的哲理： （1）从哪里来决定到哪里去。动点G从点F变换而来，所以把F点所在线段AB作同样的变换，便得到G点所在轨迹，如下图，把线段AB绕点E旋转60度得线段PQ，PQ即为点G的运动轨迹。 （2）合作带来共赢（条件集中问题易解）。ΔEFG形状确定，但位置、大小都不确定，若把形状和位置、大小结合起来，便可架起联系的桥梁。如上图，取位置大小确定的线段BE作与ΔEFG形状相同的等边ΔBEP，手拉手模型出现。或用另法，取线段CE作等边ΔCEM，如下图，得ΔFEM≌ΔGEC，得FM=CG，转化为定点M到定线AB的最短路径，当FM⊥AB时即为最小。 （3）以静制动，纵观全局。点G是动点，如何把握一个动点呢？看它的轨迹，点动成线，点虽不确定，但其运动路径确定，画出运动路径就看到了动点的运动全程，用以上方法确定G的运动轨迹，问题便迎刃而解。 四、当定线对上定角，作隐圆洞若观火路径现 4.（2019·宿迁－解答倒二题最后一问）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，直线CE、AD交于点G，如图②．求点G的运动路程． 图①
图② 由一转成双得ΔBCE∽ΔBAD，则∠BAD=∠BCE，得∠AGC=∠ABC=30°，AC为定线，可知点G在AC所对的弧上，而弧的大小范围取决于D点的运动范围，当点D距定点E最远时（BD⊥AG），点G在圆上最远处。如下图所示：
如下图，当BD⊥AG时，由BD=1/2AB得∠BAG=30°，所以此时弧BG的圆心角∠BOG=60°，D点旋转180度时点G在该弧上往返共两次，因此点G运动路径为60度弧长的2倍，即为8/3π.
五、一个中点太寂寞，成双结对好戏多 5.（2019·沈阳－解答例二题） 在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE． （1）如图1，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ；
（2）如图2，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（3）当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值． 当我们看到下面的图形（P是AB的中点）：
是不是不由自主地想要让它变成这样（构造DP=CP，使P为CD的中点）：
或者变成这样（构造CD=BC，使C为BD的中点）：
这就是我们常说的通用策略：“完形构造－补形”。上题问题（1）构造有如下三种方式：
三个问题实质是同一个图形旋转过程中的三种情况，这种分类讨论问题“形异法同”，思路与解法完全相同，请聪明的读者自己完成。 |
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