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只有思维推向深层，学习才能走向深度。精心研读，斟酌再三，深入教学，让深度学习发生，让思维竞相迸发，让素养油然而生！ ——钱塘初数人 01 案例背景 数学中考复习是学生在初中数学学习的一个重要阶段，学生在对初中数学的全部内容进行系统整理的基础上，需要进一步提升对知识结构间的深层次认识，发展高阶思维，最终落实高层次智能目标。但在实际中考复习中，教师基本是“以练代教”，学生也常常在“题海”训练中“空转”，处于模仿题型、记忆模式，知其然而不知其所以然等浅层次学习状态下。如何使学生在复习过程中能深度学习从而获得发展，是每一个初三数学老师在复习中必须认真思考的课题。笔者结合近期进行的一次“直角三角形”中考复习研讨课，阐释笔者对当前中考复习课的一些思考。 案例设计 02  教师归纳板书：直角三角形的这些性质是我们定量研究三角形的工具，直角三角形边角的关系其实是我们后续学习的三角函数知识。  设计意图：在学生的最近发展区设计一个低起点开放性的问题，学生在复习直角三角形性质的同时，建构了定量研究图形、直角三角形和三角函数的关联，实现高落点的复习效果。  设计意图：问题2的设计改变了平常复习方法：先复习直角三角形的性质，再做一些与性质相关的练习题。而是从思考一个面积不能确定的问题入手，一方面学生懂得条件弱化，结论也会弱化；另一方面，学生在解决问题的过程中 非常自然地把“当AB定长，∠C定角=90°，点C在以AB为直径的圆上运动”结论关联起来。  教师板书：直角三角形判定：HL 设计意图:从一个简单的基本图形入手,基于问题“要确定三角形面积必须加一个条件”，把更多的学生“卷入”课堂,使“不同的学生获得不同的发展”得以落实。通过教师的追问设计，学生体验并尝试如何提出添加条件,保证题目合理。通过教师追问设计，学生理解三角形的面积确定，但是三角形的形状和大小不一定能确定，要想说明三角形确定，必须要能证明全等。在这个过程中，学生的学习活动不再是为了证明全等而证明全等，全等的证明与学生正在学习的内容之间建立一种紧密的联系。全等的本质（形状和大小）才会在学生面前展现出它最生动、最鲜活的风采。  设计意图: 在添加条件解决问题过程中，学生顺其自然建构全等三角形的判定与性质和三角形要素和相关要素之间的联系。由于相关要素之间的相互制约，知道在添加条件时，要考虑添加角的范围。进一步掌握如何设计合理问题,进一步掌握提出问题的策略，并为接下来的问题解决打下基础。   设计意图:通过对本环节问题的探究，学生能够运用提出问题的策略添加条件。由于学生在自己主动设计问题，学生就有勇气去迎接挑战。在解决自己设计的问题过程中，学生能灵活运用解决三角形的常用方法：勾股定理及逆定理、相似、三角函数及面积等方法解决问题。在学生围绕具有这些挑战性的问题，积极参加学习并获得发展的过程中，学生的深度学习才真实发生。 吴非老师曾说：“聪明的老师下课后让你满腹狐疑。”一节有深度学习的课堂同样会让学生在课后继续研究。附录里是部分同学对课上的问题思考。图8，甲同学在添加直角三角形直角边的中线条件后，从构造圆的角度来说明“一条斜边和一条直角边的中线对应相等的两个三角形全等”。乙同学添加直角的角平分线计算面积（图9），为了让其余的同学能更好计算，又主动去调整已知条件，再去求解（图10），在此基础上，乙同学还研究了添加直角三角形锐角三角形角平分线条件，求得三角形的面积（图11）。丙同学不仅计算出添加直角角平分线的条件的三角形面积（图12），还研究了一般直角三角形，当添加直角平分线时，三角形面积的求法（图13）。  案例反思 03 促进深度学习的数学中考复习的思考 郭华教授提出：深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。促进学生深度学习的数学中考复习一定要关联与建构，帮助学生形成知识链。通过变式和追问，引领学生理解知识的本质，以实现学生在复习过程中的深度学习，提升学生的数学素养。 一  关联与建构：形成知识链，追求知识的长度 在中考复习中，教师在复习时，通常按照知识块（如数、式、函数、三角形、四边形、圆、统计与概率等），或者按题型（如阅读理解型、动态型、新定义型等）或者数学思想方法（如分类讨论、数形结合、方程思想、整体思想等）进行归类复习，再尽可能多找出所有有关这方面的练习去做。这样的复习很容易把学生的学习变成为又一次重复模仿的浅层次学习行为，致使经过多次的复习，学生还是处于我们常常看到的“一讲就会，一做就错、一考就倒”的状态。本节课通过设计一个在学生“最近发展区”的问题，尽可能多的调动学生以往的经验积极主动回忆直角三角形的有关性质。为了不让学生简单停留在知识梳理上，又一个求解三角形面积的问题，让学生明白一条边无法确定这个三角形的形状和大小。需要再增加一个条件时（三角形的边、角、三条重要线段），才能计算出三角形的面积。这样的学习过程，促使学生主动将复习的内容与已有的经验建立起结构性的关联，平时散落在学生头脑里直角三角形的知识能够（如图7）有序地存储在学生的头脑中。这样的知识关联与建构从纵向贯穿了学生所学的直角三角形性质判定等相关的知识，又从横向建立了直角三角形全等、相似、三角函数和三角形要素和相关要素之间的关系。当这种深度学习获得的知识以良好的结构（如图7）存储在学生的头脑中时，学生在解决问题时，能迅速使知识转化为与学生个体有关联的、能够操作和思考的内容，这样迅速的迁移能力是学生解决问题的基础，最终培养学生的素质。  二  变式与追问：理解知识本质，追求知识的深度 学生的深度学习是指学生能够全部身心投入学习，主动质疑、探究、归纳等。为激发学生的学习主动性，帮助学生把握知识的内在联系与本质，本节课设计三个主问题，这三个主问题的设计没有让学生停留在做完一道题再做一道题的层面，而是在这三个问题的基础上设计了丰富的变式和追问。在问题2不能确定面积的情况下，变式问题为求三角形面积的范围，学生在思考求解过程中，理解问题的本质在点C在以AB为直径的圆上运动（不包括A、B两点）。问题3在添加边或角算出面积后，通过追问“这个三角形的形状和大小能确定吗？”学生能够明白，三角形的面积不但确定下来，它的形状和大小也唯一确定下来，本质在于三角形全等。在变式探究问题“如果从三角形相关要素中线高线角平分线角度来添加，能不能求呢？”对于常常解决在“结构良好问题”的同学来说，这种“结构不良问题”更是激发了学生的学习积极性，学生不光开始考虑添加合理的条件，也能对同学们提出的问题提出批判性的建议。在添加角平分线的条件时，更是激起了同学们的学习热情，从后续交的作业来看，有同学用三角形角平分线定理和斯特瓦尔特定理来解决，有同学能从特殊推广到一般。这种学习虽已超出考试的范围，但是学生围绕着这个挑战性的问题，全身心积极参与、把握知识的本质，感受成功带来的喜悦，进而形成积极的内在学习动机。在这样的过程中，学生的深度学习自然真实发生。 数学中考复习从近期利益来看，学生通过再一次复习回顾初中三年数学知识，获得进一步的提高和发展，以便能在中考中获得很好的分数。从长远利益来看，数学中考复习是学生站在初中三年数学知识台阶上，回望初中所有的数学知识，通过对初中三年所学数学知识进行全面联系和建构，引领学生高观点的认识所学知识；通过对问题的变式设计和教师的追问使复习过程“老歌新唱”，促使学生深层次、多角度理解数学的本质，这样的深度学习让数学中考复习成为培养学生素质、成就学生发展、体悟感受生命意义和价值的学习过程。 参考文献： [1] 吴佑华.深度学习：让数学课堂学习真正发生.初中数学教与学，2019（3） [2] 郭元祥．知识的性质、结构与深度教学[J].课程·教材·教法，2009，（11） [3] 郭 华 .深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016，（11） 作者简介 邓云艳 文海中学数学教师，中学高级，曾荣获杭州市解题能力竞赛一等奖和杭州市教学专题论文一等奖。 |
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